数据结构与算法--复杂度

目录

1.算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

 1.2 算法的复杂度

1.3 复杂度在校招中的考察 

 2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

 2.2 大O的渐进表示法

 2.3常见时间复杂度计算举例

 3.空间复杂度

 4. 常见复杂度对比

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1.算法效率

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1.1 如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
     if(N < 3)
     return 1;
     return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

 1.2 算法的复杂度

        算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

         时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算 机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计 算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

1.3 复杂度在校招中的考察 

可以见得，复杂的是数据结构非常重要的部分。

 2.时间复杂度

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2.1 时间复杂度的概念

        时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N ; ++ i)
    {
        for (int j = 0; j < N ; ++ j)
        {
             ++count;
        }
    }
    
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

        实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

 2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。 使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。 另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到 最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

 2.3常见时间复杂度计算举例

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
         ++count;
    }
    
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    
    printf("%d\n", count);
}

对于函数Func2的时间复杂度，我们可以逐行分析代码：

1. 初始化一个变量count，时间复杂度为O(1)。

2. 进入第一个循环，循环次数为2 * N，时间复杂度为O(N)。

3. 初始化一个变量M，时间复杂度为O(1)。

4. 进入第二个循环，循环次数为M，由于M是一个常数（10），所以时间复杂度也是O(1)。 5. 打印count，时间复杂度为O(1)。 综上所述，函数Func2的时间复杂度为O(N)

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实例2:

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++ k)
    {
         ++count;
    }
    
    for (int k = 0; k < N ; ++ k)
    {
         ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

对于函数Func3的时间复杂度，我们可以逐行分析代码：

1. 初始化一个变量count，时间复杂度为O(1)。

2. 进入第一个循环，循环次数为M，时间复杂度为O(M)。

3. 进入第二个循环，循环次数为N，时间复杂度为O(N)。

4. 打印count，时间复杂度为O(1)。 综上所述，函数Func3的时间复杂度为O(M + N)。

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实例3:

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

像这段代码，k为常数，因此时间复杂度就为O(1)。

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实例4:

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i-1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

BubbleSort的时间复杂度为O(n^2)。在最坏的情况下，需要进行n-1次比较和交换，每次比较和交换的时间复杂度都为O(1)，所以总的时间复杂度为O(n*(n-1))，即O(n^2)。

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实例5:

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
    assert(a);
    
    int begin = 0;
    int end = n-1;
    // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
    while (begin <= end)
    {
        int mid = begin + ((end-begin)>>1);
        if (a[mid] < x)
            begin = mid+1;
        else if (a[mid] > x)
            end = mid-1;
        else
            return mid;
    }
    
    return -1;
}

1. 在Func1中，++count语句总共执行了5次。

2. BinarySearch的时间复杂度为O(log n)，因为每次循环都将搜索范围缩小一半，最坏情况下需要执行log n次。

注：在复杂度的表示中，约定log就是log以2为底的对数。

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实例6:

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
    if(0 == N)
        return 1;
    
    return Fac(N-1)*N;
}

        该递归算法的时间复杂度为O(N)，因为每次递归调用都会减少N的值，直到N为0为止，因此最多需要调用N次递归函数。

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// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
     if(N < 3)
         return 1;
 
     return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。（建议画图递归栈帧的二叉树 讲解）

 3.空间复杂度

        空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i-1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

BubbleSort的空间复杂度为O(1)，因为它只需要常数级别的额外空间来存储一些中间变量，而不随输入规模n的增长而增长。

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实例2：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
    if(n==0)
     return NULL;
    
    long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; ++i)
    {
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    
    return fibArray;
}

这段代码的空间复杂度为O(n)，因为它使用了一个大小为n+1的数组来存储斐波那契数列的前n项。

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实例3：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
     if(N == 0)
     return 1;
 
     return Fac(N-1)*N;
}

阶乘递归函数Fac的空间复杂度是O(N)，其中N为输入的参数。这是因为在每一次递归调用中，需要保存当前的函数调用的局部变量和返回地址，这些信息会被保存在栈空间中。由于递归调用了N次，所以空间复杂度为O(N)。

 4. 常见复杂度对比

一般算法常见的复杂度如下：

本章完！