二阶常系数线性非齐次微分方程的解

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一、定义

二阶常系数线性齐次微分方程：
$$y^{\prime \prime }(x)+p{y}^{\prime }(x)+qy(x)=0$$
二阶常系数线性非齐次微分方程：
$$y^{\prime \prime }(x)+p{y}^{\prime }(x)+qy(x)=g(x)$$
二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：
$$y(x)=齐次通解+非齐次特解=y_0(x)+y^{\ast }(x)$$

二、齐次通解

特征方程为
$$r^2+pr+q=0$$
根据特征方程的根$r_1,r_2$的情况，设通解为
$$y_0(x)=\{\begin{array}{ll}{C}_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x},& r_1\ne r_2\\ (C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x},& r_1=r_2\\ e^{\alpha x}[C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x)],& r=\alpha \pm \mathrm{i}\beta \end{array}$$

三、非齐次特解

1. $\alpha$不是特征根

$g(x)$的形式	特解$y^{\ast }(x)$的形式
$a$	$A$
$ax+b$	$Ax+B$
$a{x}^2+bx+c$	$A{x}^2+Bx+C$
$a{e}^{\alpha x}$	$A{e}^{\alpha x}$
$(ax+b)e^{\alpha x}$	$(Ax+B)e^{\alpha x}$
$(a{x}^2+bx+c)e^{\alpha x}$	$(A{x}^2+Bx+C)e^{\alpha x}$

2. $\alpha$是特征单重根

（1）$\alpha \ne 0$时

$g(x)$的形式	特解$y^{\ast }(x)$的形式
$a{e}^{\alpha x}$	$xA{e}^{\alpha x}$
$(ax+b)e^{\alpha x}$	$x(Ax+B)e^{\alpha x}$
$(a{x}^2+bx+c)e^{\alpha x}$	$x(A{x}^2+Bx+C)e^{\alpha x}$

（2）$\alpha =0$时

$g(x)$的形式	特解$y^{\ast }(x)$的形式
$a$	$xA$
$ax+b$	$x(Ax+B)$
$a{x}^2+bx+c$	$x(A{x}^2+Bx+C)$

3. $\alpha$是特征二重根

（1）$\alpha \ne 0$时

$g(x)$的形式	特解$y^{\ast }(x)$的形式
$a{e}^{\alpha x}$	$x^{2}A{e}^{\alpha x}$
$(ax+b)e^{\alpha x}$	$x^2(Ax+B)e^{\alpha x}$
$(a{x}^2+bx+c)e^{\alpha x}$	$x^2(A{x}^2+Bx+C)e^{\alpha x}$

（2）$\alpha =0$时

$g(x)$的形式	特解$y^{\ast }(x)$的形式
$a$	$x^{2}A$
$ax+b$	$x^2(Ax+B)$
$a{x}^2+bx+c$	$x^2(A{x}^2+Bx+C)$

4. $\alpha +\mathrm{i}\beta$不是特征根

$g(x)$的形式	特解$y^{\ast }(x)$的形式
$e^{\alpha x}[a\cos (\beta x)+b\sin (\beta x)]$	$e^{\alpha x}[A\cos (\beta x)+B\sin (\beta x)]$
$e^{\alpha x}[(ax+b)\cos (\beta x)+(cx+d)\sin (\beta x)]$	$e^{\alpha x}[(Ax+B)\cos (\beta x)+(Cx+D)\sin (\beta x)]$
$e^{\alpha x}[(a{x}^2+bx+c)\cos (\beta x)+(d{x}^2+ex+f)\sin (\beta x)]$	$e^{\alpha x}[(A{x}^2+Bx+C)\cos (\beta x)+(D{x}^2+Ex+F)\sin (\beta x)]$

5. $\alpha +\mathrm{i}\beta$是特征根

$g(x)$的形式	特解$y^{\ast }(x)$的形式
$e^{\alpha x}[a\cos (\beta x)+b\sin (\beta x)]$	$x{e}^{\alpha x}[A\cos (\beta x)+B\sin (\beta x)]$
$e^{\alpha x}[(ax+b)\cos (\beta x)+(cx+d)\sin (\beta x)]$	$x{e}^{\alpha x}[(Ax+B)\cos (\beta x)+(Cx+D)\sin (\beta x)]$
$e^{\alpha x}[(a{x}^2+bx+c)\cos (\beta x)+(d{x}^2+ex+f)\sin (\beta x)]$	$x{e}^{\alpha x}[(A{x}^2+Bx+C)\cos (\beta x)+(D{x}^2+Ex+F)\sin (\beta x)]$

6. 一个小技巧稍微降低运算量

求解二阶常系数线性非齐次微分方程时，需要对特解进行二次求导，若特解是两个含$x$项的乘积，则求导时需要不断使用求导乘法法则，且需代入方程求解系数，这个过程的计算量比较大。有一个小技巧可以稍微降低运算量：

$$\begin{array}{rl}& 若特解是两个含x项的乘积，可将两项分别记为y_1和y_2\\ & 此时特解为：y^{\ast }=y_1{y}_2\\ & 先对特解求一阶导可得：(y^{\ast }{)}^{\prime }=y_1^{\prime }{y}_2+y_1{y}_2^{\prime }\\ & 再对特解求二阶导可得：(y^{\ast }{)}^{\prime \prime }=y_1^{\prime \prime }{y}_2+2y_1^{\prime }{y}_2^{\prime }+y_1{y}_2^{\prime \prime }\\ & 计算y_1^{\prime }，y_1^{\prime \prime }，y_2^{\prime }，y_2^{\prime \prime }，代入以上两式，整理并化简\\ & 最后代入原方程：y^{\prime \prime }(x)+p{y}^{\prime }(x)+qy(x)=0\end{array}$$

建议将$(y^{\ast }{)}^{\prime }$和$(y^{\ast }{)}^{\prime \prime }$的式子记下来，以加快运算速度。

【例】$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=10e^{-x}\sin x$

$$\begin{array}{rl}& 特征方程：r^2-3r+2=0\\ & 由此设齐次通解：y_0=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}\\ & 设非齐次特解：y^{\ast }=e^{-x}(A\sin x+B\cos x)\\ & 记：y_1=e^{-x}，y_2=A\sin x+B\cos x，则：y^{\ast }=y_1{y}_2\\ & 有：y_1^{\prime }=-e^{-x}，y_2^{\prime }=A\cos x-B\sin x\\ & 有：y_1^{\prime \prime }=e^{-x}，y_2^{\prime \prime }=-A\sin x-B\cos x\\ & 所以有：(y^{\ast }{)}^{\prime }=y_1^{\prime }{y}_2+y_1{y}_2^{\prime }=e^{-x}[(A-B)\cos x-(A+B)\sin x]\\ & 所以有：(y^{\ast }{)}^{\prime \prime }=y_1^{\prime \prime }{y}_2+2y_1^{\prime }{y}_2^{\prime }+y_1{y}_2^{\prime \prime }=e^{-x}[2B\sin x-2A\cos x]\\ & 最后代入原方程化简：(A+B)\sin x+(B-A)\cos x=2\sin x\\ & 求出A=1,B=1\\ & 所以：y^{\ast }=e^{-x}(\sin x+\cos x)\end{array}$$