期末复习之数据结构 第6章 树和二叉树

目录

一.课本知识点

1.树的基本概念

a.树的定义

b.若干术语​

c.逻辑结构

d.存储结构

e.树的运算

2.二叉树

a.二叉树的定义

b.二叉树的性质

c.二叉树的存储结构

3.遍历二叉树和线索二叉树

4.树和森林

5.哈夫曼树及其应用

 二.练习题

题组一：

 题组二：

 题组三：

---

一.课本知识点

1.树的基本概念

a.树的定义

•  树的抽象数据类型定义
•  图形表示法：
•  广义表表示法:
• 左孩子－右兄弟表示法 :

b.若干术语

c.逻辑结构

• 特点：一对多（1:n） 除了根结点，其余结点都只有一个直接前驱，有多个直接后继，且子树之间互不相交。
• 树是非线性结构，该怎样存储？
  ——仍然有顺序存储、链式存储等方式。
• 树的顺序存储方案应该怎样制定？
  可规定为：从上至下、从左至右将树的结点依次存入内存。 重大缺陷：复原困难（不能唯一复原就没有实用价值）

d.存储结构

•  树的链式存储方案应该怎样制定？

e.树的运算

• 明确：

2.二叉树

• 为何要重点研究每结点最多只有两个 “叉” 的树？

a.二叉树的定义

• 定义：是n（n≥0）个结点的有限集合，由一个根结点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成 。
• 逻辑结构：  一对二（1：2）
• 基本特征:
• 二叉树的抽象数据类型定义：

b.二叉树的性质

• 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>0）
• 性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>0）。
• 性质3: 对于任何一棵二叉树，若2度的结点数有n2个，则叶子数（n0）必定为n2＋1 （即n0=n2+1）
• 满二叉树：
• 完全二叉树：
•  完全二叉树的特点：
• 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为log2n  ＋1 log2n 是指不大于log2n的一个整数
• 性质5: 对n个结点的完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i（2i>n无左孩子），其右孩子编号必为2i＋1 （2i＋1>n无右孩子） ；其双亲的编号必为  i/2  （i＝1 时为根,除外）。

c.二叉树的存储结构

• 顺序存储结构

•  链式存储结构

3.遍历二叉树和线索二叉树

• 二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

• 结点数据类型自定义
  typedef struct Tnode{
     int data; 
     struct Tnode   
        *lchild,*rchild；
  } Tnode, *BiTree; 
  
  先序遍历算法
  DLR(Tnode *root ){
    if (root){ //非空二叉树
      printf(“%d”,root->data); //访问D
      DLR(root->lchild); //递归遍历左子树
     DLR(root->rchild); //递归遍历右子树
     } 
    return(0); }
  
  中序遍历算法
  LDR(Tnode *root){
   if(root){
     LDR(root->lchild);
     printf(“%d”,root->data);
     LDR(root->rchild); 
   } return(0);}
  
  后序遍历算法
  LRD (Tnode *root){
   if(root){ 
      LRD(root->lchild);
      LRD(root->rchild);
      printf(“%d”,root->data); 
    } return(0);}
  

• 计算二叉树中叶子结点的数目

  先序遍历算法
  DLR(Tnode *root ){
    if (root){ //非空二叉树
      printf(“%d”,root->data); //访问D
      DLR(root->lchild); //递归遍历左子树
     DLR(root->rchild); //递归遍历右子树
     } 
    return(0); }
  DLR(Tnode *root)     //采用先序遍历的递归算法
  { 
    if ( root!=NULL ) //非空二叉树条件，还可写成if(root)
   	 {      if(!root->lchild&&!root->rchild)  //是叶子结点
    			 {sum++; printf("%d\n",root->data);}
       DLR(root->lchild); //递归遍历左子树，直到叶子处；
       DLR(root->rchild); }//递归遍历右子树，直到叶子处；
     } return(0);  
  }
  

• 求二叉树深度

  int  Depth(BiTree T)
  {
      if (T= =NULL) return 0;
      else {
           hl= Depth(T->lchild);
           hr= Depth(T ->rchild);
           return max(hl, hr)+1;
      }
  }
  

• 二叉树的建立：

  思路：利用前序遍历来建树(结点值陆续从键盘输入)
  Status createBTpre(BiTree T ){ 
          scanf(“%c”,&ch);
      if(ch==’# ’)T=NULL; 
  else{
  	T=( Bintree )malloc(sizeof(Tnode));
    	 T->data=ch;
     	createBTpre(T->lchild);
     	 createBTpre(T->rchild); }
       return OK;
  }
  

• 前序遍历——非递归算法（伪代码）

  1.栈s初始化；
  2.循环直到p为空且栈s为空 
  　2.1 当p不空时循环
  　　2.1.1 输出p->data;
      　2.1.2 将指针p的值保存到栈中；
      　2.1.3 继续遍历p的左子树
  　2.2 当p为空，栈s不空，则
  　　2.2.1 将栈顶元素弹出至p；
  　　2.2.2 准备遍历p的右子树； 
  
  Status preTraverse(BiTree T,Status( *Visit)(TElemType  e))
  {  //前序遍历的非递归算法
       InitStack( S ); p=T;
       while ( p || !StackEmpty(S) ) {// 栈不空或树不空
            if ( p ) {
                  if ( !Visit( p->data) )   return ERROR;访问根结点,
                 Push(S,p);    p= p->lchild; }  // 根指针进栈,遍历左子树
            else  {    // 左子树访问完了,根指针退栈, 遍历右子树
                        Pop( S,p); 
                        p = p->rchild;
             }  // else
       }   // while
       return   OK;
   }  //  InorderTraverse
  

• 线索二叉树：

• 有关线索二叉树的几个术语：

  

   这块儿其实挺重要的 但是我不想写了 

4.树和森林

• 树有三种常用存储方式： ①双亲表示法     ②孩子表示法    ③孩子兄弟表示法    
• 双亲表示法：

•  孩子表示法
• 孩子兄弟表示法
  
•  树和森林与二叉树的转换

• 树的遍历 ----前序遍历

• 树的遍历 ----后序遍历

  

• 树的遍历 ----层序遍历 

  

  

   

  • 总结： 树的先序遍历等价于二叉树的先序遍历
                树的后序遍历等价于二叉树的中序遍历

5.哈夫曼树及其应用

• 预备知识：若干术语
•  哈夫曼树的特点：
  1. 权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值越小的叶子结点越远离根结点。
  2. 只有度为0（叶子结点）和度为2（分支结点）的结点，不存在度为1的结点.
• 构造哈夫曼树的基本思想：权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。
• 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：

 二.练习题

题组一：

 

 

 题组二：

一、判断正误

（ √ ）1. 若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。

（ × ）2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。  

（ √ ）3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。     

（ × ）4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。  

（ × ）5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值，且小于其右非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值。   （应当是二叉排序树的特点）

（ × ）6.二叉树中所有结点个数是2k-1-1，其中k是树的深度。（应2i-1）  

（ × ）7.二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。  

（ × ）8.对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第i层上最多能有2i—1个结点。（应2i-1）

（ √ ）9.用二叉链表法（link-rlink）存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n+1个为空指针。

（正确。用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点共有2n个链域。由于二叉树中，除根结点外，每一个结点有且仅有一个双亲，所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针，还有n+1个空指针。）即有后继链接的指针仅n-1个。

（ √ ）10. 〖01年计算机系研题〗具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。

二、填空题

1． 由３个结点所构成的二叉树有   5  种形态。

2.  一棵深度为6的满二叉树有 n1+n2=0+ n2= n0-1=31  个分支结点和 26-1 =32  个叶子。

注：满二叉树没有度为1的结点，所以分支结点数就是二度结点数。

3． 一棵具有２５７个结点的完全二叉树，它的深度为   9    。

（ 注：用ë log2(n) û+1= ë 8.xx û+1=9

1. 设一棵完全二叉树有700个结点，则共有  350  个叶子结点。

答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝350 

5. 设一棵完全二叉树具有1000个结点，则此完全二叉树有 500  个叶子结点，有  499   个度为2的结点，有   1   个结点只有非空左子树，有  0    个结点只有非空右子树。

答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝500 ，n2=n0-1=499。 另外，最后一结点为2i属于左叶子，右叶子是空的，所以有1个非空左子树。完全二叉树的特点决定不可能有左空右不空的情况，所以非空右子树数＝0.

6. 一棵含有n个结点的k叉树，可能达到的最大深度为  n  ，最小深度为 2 。

答：当k=1(单叉树)时应该最深，深度＝n（层）；当k=n-1（n-1叉树）时应该最浅，深度＝2（层），但不包括n=0或1时的特例情况。教材答案是“完全k叉树”，未定量。)

7.  二叉树的基本组成部分是：根（N）、左子树（L）和右子树（R）。因而二叉树的遍历次序有六种。最常用的是三种：前序法（即按N L R次序），后序法（即按    L R N     次序）和中序法（也称对称序法，即按L N R次序）。这三种方法相互之间有关联。若已知一棵二叉树的前序序列是BEFCGDH，中序序列是FEBGCHD，则它的后序序列必是       F E G H D C B         。

8.中序遍历的递归算法平均空间复杂度为    O(n)   。

答：即递归最大嵌套层数，即栈的占用单元数。精确值应为树的深度k+1，包括叶子的空域也递归了一次。

9. 用5个权值{3, 2, 4, 5, 1}构造的哈夫曼（Huffman）树的带权路径长度是    33   。
 

三、单项选择题

（ C  ）1． 不含任何结点的空树         。

（Ａ）是一棵树;                         （Ｂ）是一棵二叉树;  

（Ｃ）是一棵树也是一棵二叉树;           （Ｄ）既不是树也不是二叉树

答：以前的标答是B，因为那时树的定义是n≥1

（ C  ）2．二叉树是非线性数据结构，所以             。

（Ａ）它不能用顺序存储结构存储;           （Ｂ）它不能用链式存储结构存储;   

（Ｃ）顺序存储结构和链式存储结构都能存储;  （Ｄ）顺序存储结构和链式存储结构都不能使用

（ C ）3. 〖01年计算机研题〗 具有n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为         。

(Ａ) élog2(n)ù   (Ｂ) ë log2(n)û   (Ｃ) ë log2(n) û+1     (Ｄ) élog2(n)+1ù

注1：éx ù表示不小于x的最小整数；ë xû表示不大于x的最大整数，它们与[ ]含义不同！

注2：选（A）是错误的。例如当n为2的整数幂时就会少算一层。似乎ë log2(n) +1û是对的？

（ A  ）4．把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是           。

（Ａ）唯一的                          （Ｂ）有多种

（Ｃ）有多种，但根结点都没有左孩子    （Ｄ）有多种，但根结点都没有右孩子

5. 从供选择的答案中，选出应填入下面叙述   ？   内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。

树是结点的有限集合，它A  根结点，记为T。其余的结点分成为m（m≥0）个  B   

的集合T1，T2，…，Tm，每个集合又都是树，此时结点T称为Ti的父结点，Ti称为T的子结点（1≤i≤m）。一个结点的子结点个数为该结点的  C    。

供选择的答案

A：  ①有0个或1个    ②有0个或多个      ③有且只有1个      ④有1个或1个以上

B:   ①互不相交      ② 允许相交         ③ 允许叶结点相交    ④ 允许树枝结点相交

C： ①权            ② 维数             ③ 次数（或度）      ④ 序

答案：ABC＝1，1，3

6. 从供选择的答案中，选出应填入下面叙述   ？   内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。

二叉树 A  。在完全的二叉树中，若一个结点没有  B   ，则它必定是叶结点。每棵树都能惟一地转换成与它对应的二叉树。由树转换成的二叉树里，一个结点N的左子女是N在原树里对应结点的  C   ，而N的右子女是它在原树里对应结点的  D    。

供选择的答案

A： ①是特殊的树   ②不是树的特殊形式   ③是两棵树的总称   ④有是只有二个根结点的树形结构

B:   ①左子结点   ② 右子结点  ③ 左子结点或者没有右子结点    ④ 兄弟

C～D： ①最左子结点         ② 最右子结点    ③ 最邻近的右兄弟        ④ 最邻近的左兄弟

       ⑤ 最左的兄弟     ⑥ 最右的兄弟

答案：A=           B=         C=          D＝           

答案：ABCDE＝2，1，1，3
四、分析求解题​​​​​​​

 题组三：