力扣第96题 不同的二叉搜索树 c++ 二叉搜索树 动态规划 + 数学思维

题目

96. 不同的二叉搜索树

中等

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给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

思路和解题方法 一 动态规划

1. vector dp(n + 1);：创建一个名为 dp 的整数向量，长度为 n+1。dp[i] 表示节点数量为 i 时的二叉搜索树数量。

2. dp[0] = 1;：将 dp[0] 初始化为 1，因为当节点数量为 0 时，只有一种情况，即空树。

3. for (int i = 1; i <= n; i++)：遍历节点数量从 1 到 n 的所有情况。

4. for (int j = 1; j <= i; j++)：对于当前节点数量 i，遍历 j 从 1 到 i 的所有情况，表示以 j 作为根节点的情况。

5. dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];：计算以 j 作为根节点时，左子树和右子树的组合数，并将其累加到 dp[i] 中。dp[j - 1] 表示左子树的组合数，dp[i - j] 表示右子树的组合数。

6. 最终返回 dp[n]，即节点数量为 n 时的二叉搜索树数量。

复杂度

        时间复杂度:

                O(n^2)

时间复杂度为 O(n^2)，因为有两个嵌套的循环。

        空间复杂度

                O(n)

空间复杂度为 O(n)，因为使用了一个长度为 n+1 的向量来保存中间结果。

c++ 代码一

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        // 创建一个长度为n+1的vector，用于存储不同数值的二叉搜索树的数量
        vector dp(n + 1);
        // 初始化dp[0]为1，因为空二叉树也算一棵二叉树
        dp[0] = 1;
        // 循环计算dp数组中每个元素的值
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                // 根据公式计算dp[i]的值，即左子树数量×右子树数量之和
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        // 返回dp[n]，即n个节点的不同数值的二叉搜索树的数量
        return dp[n];
    }
};

思路和解题方法 二 数学思维

代码中，使用了一个变量C来表示二叉搜索树的数量。初始时，将C设置为1。

然后通过循环遍历i从0到n-1的所有情况，进行如下操作：

1. 将C乘以2 * (2 * i + 1)。这一步是为了计算当前节点数量为i+1时，左子树的组合数。因为左子树的节点数量比根节点小，所以乘以2 * (2 * i + 1)可以得到左子树的组合数。

2. 将C除以(i + 2)。这一步是为了计算右子树的组合数。右子树的节点数量比根节点大，所以除以(i + 2)可以得到右子树的组合数。

通过每次循环更新C的值，最终得到的C即为n个节点的二叉搜索树的数量。

这段代码利用了组合数的性质，将计算二叉搜索树数量的问题转化为了求解组合数的问题。

通过不断更新C的值，可以高效地计算出给定节点数量的二叉搜索树的数量。

需要注意的是，由于C的值可能非常大，所以在返回结果之前，将C强制转换为int类型。

复杂度

        时间复杂度:

                O(n)

时间复杂度分析： 代码中的循环从0到n-1遍历，每次循环都执行一些基本的数学运算，包括乘法、除法和加法。这些运算的时间复杂度都是常数级别的。因此，整个循环的时间复杂度为O(n)。

        空间复杂度

                O(1)

空间复杂度分析： 代码中只使用了一个变量C来存储二叉搜索树的数量，而且在整个过程中不需要额外的数据结构来存储中间结果。因此，空间复杂度为O(1)，即常数级别的空间消耗。

c++ 代码二

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long C = 1; // 初始化组合数C为1，用于存储二叉搜索树的数量
        for (int i = 0; i < n; ++i) { // 循环计算每个节点数量的二叉搜索树的数量
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2); // 计算组合数C的值
        }
        return (int)C; // 将组合数C强制转换为int类型并返回
    }
};

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