NOIP2023模拟8联测29 集合

题目大意

定义一个整数集合$S$是好的，当且仅当$S$中所有值域连续段的长度都不超过$k$。

换句话说，$S$是好的，当且仅当不存在一对整数$l,r$，满足$[l,r]$中的整数都在$S$中出现且$r-l+1>k$。

给定一个长度为$n$的序列$a_1,a_2,\cdots ,a_n$，问该序列有多少个子区间满足这个区间的数的集合是好的。

$1\le n\le 2\times 10^5,1\le a_i,k\le n$

题解

首先，我们可以发现，如果区间$[l,r]$是好的，那所有被区间$[l,r]$，包含的区间也是好的因为这样最长值域连续段长度不会变大，一定也满足条件。

我们可以用扫描线，从小到大枚举右端点，然后维护最小的$l$，满足区间$[l,r]$是好的。

那哦们怎么判断一个区间是不是好的呢？我们用线段树来维护$a_i$的值域，线段树上的每个节点维护区间中最长值域连续段的长度，以及包含左、右端点的极长连续段长度。判断当前区间是否是好的，只需要看根节点维护区间中最长值域连续段的长度是否超过$k$即可。如果超过了，则将$a_l$在线段树上删去。$r$每往右一个位置，就将$a_r$在线段树上加上。也就是说，线段树只需要支持单点修改。

对于每个$r$和其对应的最小的$l$，$ans+=r-l+1$。

时间复杂度为$O(n\log n)$。

code

#include
#define lc k<<1
#define rc k<<1|1
using namespace std;
const int N=200000;
int n,k,a[N+5],ct[4*N+5],mx[4*N+5],lx[4*N+5],rx[4*N+5];
long long ans=0;
void ch(int k,int l,int r,int x,int v){
	if(l==r&&l==x){
		ct[k]+=v;
		mx[k]=lx[k]=rx[k]=(ct[k]>0);
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) ch(lc,l,mid,x,v);
	else ch(rc,mid+1,r,x,v);
	if(lx[lc]<mid-l+1) lx[k]=lx[lc];
	else lx[k]=lx[lc]+lx[rc];
	if(rx[rc]<r-mid) rx[k]=rx[rc];
	else rx[k]=rx[rc]+rx[lc];
	mx[k]=max(rx[lc]+lx[rc],max(mx[lc],mx[rc]));
}
int main()
{
//	freopen("set.in","r",stdin);
//	freopen("set.out","w",stdout);
//	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int i=1,j=1;i<=n;i++){
		ch(1,1,n,a[i],1);
		while(mx[1]>k){
			ch(1,1,n,a[j],-1);++j;
		}
		ans+=i-j+1;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}