正定矩阵的分解

正定矩阵的分解方法

设三阶正定矩阵 $A$，若矩阵 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，对应的单位化特征向量分别为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 且两两正交，则存在正交矩阵 $Q=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，使得 Q T A Q = Λ = [ λ 1 λ 2 λ 3 ] Q^{\mathrm{T}}AQ = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix} QTAQ=Λ= ​λ1​​λ2​​λ3​​ ​

现得到 $A=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}$，令 Λ 1 = [ λ 1 λ 2 λ 3 ] \Lambda_1 = \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_1} & & \\ & \sqrt{\lambda_2} & \\ & & \sqrt{\lambda_3} \end{bmatrix} Λ1​= ​λ1​ ​​λ2​ ​​λ3​ ​​ ​，则正定矩阵 $A$ 有以下分解方法：

【方法一】 $A=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}=Q({\Lambda }_1{\Lambda }_1)Q^{\mathrm{T}}=({\Lambda }_1{Q}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}({\Lambda }_1{Q}^{\mathrm{T}})=C^{\mathrm{T}}C（令C={\Lambda }_1{Q}^{\mathrm{T}}）$

【方法二】 $A=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}=Q{\Lambda }_1{\Lambda }_1{Q}^{\mathrm{T}}=Q{\Lambda }_1(Q^{\mathrm{T}}Q){\Lambda }_1{Q}^{\mathrm{T}}=(Q{\Lambda }_1{Q}^{\mathrm{T}})(Q{\Lambda }_1{Q}^{\mathrm{T}})=C^2（令C=Q{\Lambda }_1{Q}^{\mathrm{T}}）$

此时由谱分解定理得：

• $A={\lambda }_1{\alpha }_1{\alpha }_1^{\mathrm{T}}+{\lambda }_2{\alpha }_2{\alpha }_2^{\mathrm{T}}+{\lambda }_3{\alpha }_3{\alpha }_3^{\mathrm{T}}$
• $B=\sqrt{{\lambda }_1}{\alpha }_1{\alpha }_1^{\mathrm{T}}+\sqrt{{\lambda }_2}{\alpha }_2{\alpha }_2^{\mathrm{T}}+\sqrt{{\lambda }_3}{\alpha }_3{\alpha }_3^{\mathrm{T}}$

【拓展】 若要将正定矩阵 $A$ 分解为 $C^3$，则可令 Λ 2 = [ λ 1 3 λ 2 3 λ 3 3 ] \Lambda_2 = \begin{bmatrix} \sqrt[3]{\lambda_1} & & \\ & \sqrt[3]{\lambda_2} & \\ & & \sqrt[3]{\lambda_3} \end{bmatrix} Λ2​= ​3λ1​ ​​3λ2​ ​​3λ3​ ​​ ​，所以有：$A=(Q{\Lambda }_2{Q}^{\mathrm{T}})(Q{\Lambda }_2{Q}^{\mathrm{T}})(Q{\Lambda }_2{Q}^{\mathrm{T}})=C^3（令C=Q{\Lambda }_2{Q}^{\mathrm{T}}）$

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相关例题

【例 1】已知矩阵 A = [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} A= ​001​010​100​ ​，求一个可逆矩阵 $C$，使得 $C^3=A$。

【解】$C^3=A$ 的特征值为 $1,1,-1$，则 $C$ 的特征值为 $\sqrt[3]{1},\sqrt[3]{1},\sqrt[3]{-1}$（即 $1,1,-1$），所以 $C-E$ 的特征值为 $0,0,-2$。

$A$ 的特征值 $-1$ 所对应的特征向量为 ${\alpha }_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}$，则 $C-E$ 的特征值 ${\lambda }_3=-2$ 所对应的特征向量也为 ${\alpha }_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}$。

由谱分解定理得

C − E = λ 3 α 3 α 3 T = − 2 ⋅ 1 2 [ 1 0 − 1 ] ⋅ 1 2 ( 1 , 0 , − 1 ) = − [ 1 0 − 1 0 0 0 − 1 0 1 ] = [ − 1 0 1 0 0 0 1 0 − 1 ] ∴ C = ( C − E ) + E = [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] \begin{aligned} C-E &= \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}} \\ &= -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1) \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \therefore C &= (C-E) + E = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} C−E∴C​=λ3​α3​α3T​=−2⋅2 ​1​ ​10−1​ ​⋅2 ​1​(1,0,−1)=− ​10−1​000​−101​ ​= ​−101​000​10−1​ ​=(C−E)+E= ​001​010​100​ ​​

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【例 2】已知矩阵 A = [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} A= ​001​010​100​ ​，求一个正定矩阵 $C$，使得 $C^2=A+2E$。

【解】$A$ 的特征值为 $1,1,-1$，则 $C^2=A+2E$ 的特征值为 $3,3,1$，则 $C$ 的特征值为 $\sqrt{3},\sqrt{3},1$，所以 $C-\sqrt{3}E$ 的特征值为 $0,0,1-\sqrt{3}$。

$A$ 的特征值 $-1$ 所对应的特征向量为 ${\alpha }_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}$，则 $C-\sqrt{3}E$ 的特征值 ${\lambda }_3=1-\sqrt{3}$ 所对应的特征向量也为 ${\alpha }_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}$。

由谱分解定理得

C − 3 E = λ 3 α 3 α 3 T = ( 1 − 3 ) ⋅ 1 2 [ 1 0 − 1 ] ⋅ 1 2 ( 1 , 0 , − 1 ) = 1 − 3 2 [ 1 0 − 1 0 0 0 − 1 0 1 ] = [ 1 − 3 2 0 3 − 1 2 0 0 0 3 − 1 2 0 1 − 3 2 ] ∴ C = ( C − 3 E ) + 3 E = [ 3 + 1 2 0 3 − 1 2 0 3 0 3 − 1 2 0 3 + 1 2 ] \begin{aligned} C-\sqrt{3}E &= \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}} \\ &= (1-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,-1) \\ &= \frac{1-\sqrt{3}}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1-\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}-1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} & 0 & \frac{1-\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \\ \therefore C &= (C-\sqrt{3}E) + \sqrt{3}E = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}+1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}-1}{2} \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}+1}{2} \end{bmatrix} \end{aligned} C−3 ​E∴C​=λ3​α3​α3T​=(1−3 ​)⋅2 ​1​ ​10−1​ ​⋅2 ​1​(1,0,−1)=21−3 ​​ ​10−1​000​−101​ ​= ​21−3 ​​023 ​−1​​000​23 ​−1​021−3 ​​​ ​=(C−3 ​E)+3 ​E= ​23 ​+1​023 ​−1​​03 ​0​23 ​−1​023 ​+1​​ ​​

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【例 3】已知矩阵 A = [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} A= ​001​010​100​ ​，求一个正定矩阵 $C$，使得 $C^n=A+2E$。

【解】该题与上题的解法是相似的，现直接给出答案：

C = [ 3 n + 1 2 0 3 n − 1 2 0 3 n 0 3 n − 1 2 0 3 n + 1 2 ] C = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt[n]{3}+1}{2} & 0 & \frac{\sqrt[n]{3}-1}{2} \\ 0 & \sqrt[n]{3} & 0 \\ \frac{\sqrt[n]{3}-1}{2} & 0 & \frac{\sqrt[n]{3}+1}{2} \end{bmatrix} C= ​2n3 ​+1​02n3 ​−1​​0n3 ​0​2n3 ​−1​02n3 ​+1​​ ​