正则表达式和自动机（DFA&NFA）

一 正则表达式匹配原理

1.1 正则表达式

正则表达式是对字符串操作的一种逻辑公式，就是用事先定义好的一些特定字符、及这些特定字符的组合，组成一个“规则字符串”，这个“规则字符串”用来表达对字符串的一种过滤逻辑。例如，筛选所有以包含连续三个0的0，1字符串的正则表达式为：
$$(0\cup 1{)}^{\ast }000(0\cup 1{)}^{\ast }$$

1.2 DFA

DFA（Deterministic Finite State），确定有穷自动机，从一个状态通过一系列的事件转换到另一个状态。它的形式定义如下：

有穷自动机是一个5元组$(Q,E,\delta ,q_0,F)$，其中：

1. $Q$是一个有穷集合，叫做状态集。
2. $E$是一个有穷集合，叫做字母集。
3. $\delta$：$Q\times \Sigma \rightarrow Q $是转移函数。
4. $q_0\in Q$是起始状态。
5. $F\subseteq Q$是接受状态集。

举个例子，有一个有穷自动机$G=(Q,E,\delta ,q_0,F)$，其中：

$Q=\{q_1,q_2,q_3,q_4\}$。 表示该自动机共有4个状态

$E=\{0,1\}$；表示该自动机只接收0，1字母

$\delta$：

$q_0=q_1$；表示开始状态为$q_1$

$F=\{q_4\}$。表示结束状态有$q_4$;

我们可以根据该自动机画出下面这一个图，来形象的理解一下。

1.3 正则表达式和DFA的关系

正则表达式就是建立在自动机的理论基础上的：用户写完正则表达式之后，正则引擎会按照这个表达式构建相应的自动机，也就是说，一个正则表达式必定可以构建出与之对应的DFA，正则表达式与DFA之间的比例关系为1:n。

1.4 正则匹配过程

现在有字符串$S1=1010001$，计算机在判断它是否匹配正则表达式$(0\cup 1{)}^{\ast }000(0\cup 1{)}^{\ast }$时，匹配的步骤如下：

开始状态	到达状态	输入字符	剩余字符串	是否接受
$q_1$	$q_1$	1	010001	否
$q_1$	$q_2$	0	10001	否
$q_2$	$q_1$	1	0001	否
$q_1$	$q_2$	0	001	否
$q_2$	$q_3$	0	01	否
$q_3$	$q_4$	0	1	否
$q_4$	$q_4$	1	$\epsilon$	是

判定一个字符串匹配某个正则表达式，即当所有字符串输入到自动机中，最终停留的状态为接受状态。

二 DFA的构建

例如，我们现在需要构建一个识别手机号码的自动机，我们需要先明白手机号码所有的限制规则，为了方便画图，我们这里假定所有的手机号码都是5位，那么所有的规则为：

• 5位，第一位一定是1。
• 第二位和第三位根据不同运营商的号码段有所区别，只有有限的组合是合法的手机号码。
  • 手机号码第二位为3，第三位可以是任意数字。
  • 手机号码第二位为5，第三位为0-3或7-9任意一个数字。
• 后2位可以是任意数字。

根据规则构建一个自动机的步骤如下：

1. 先根据规则画出所有能够匹配成功的路径。如下：
   

2. 自动机每一个状态对于不同的输入需要有明确的下一个状态，所以我们需要将下一个状态不确定的状态画出来。补全之后的图如下。
   

当然，构造DFA还有很多技巧，例如联结和取非等。

三 DFA与正则的转化

3.1 DFA转正则表达式

从一个DFA转化为一个正则表达式，我们需要知道下面三条构造规则：

除此之外，我们还需要知道，在转化为正则表达式时，我们只关心由开始到接受状态的所有路径。所以在自动机的图里面，除了自我闭环的路径，只有指向自己而没有指出的状态是无用状态，例如上面电话号码的例子中，$q_8$状态实际上是一个没用的状态。

根据以上三条规则的第一条，我们可以得到下面的自动机：

根据第二条规则，我们可以得到下面的自动机：

再根据第一条规则，我们可以得到下面的自动机：

所以，电话号码的正则表达式为：$1(3[0-9]\mid 5[0-3,7-9])[0-9][0-9]$。

当然，在转化过程中，最终的接受状态可能会有很多个，例如：

我们可以通过将这些终止节点都连接到一个同一个虚拟的终止节点，在进行状态合并。

3.2 正则表达式转DFA

正则表达式转DFA需要分为两步，首先，需要将正则表达式转化为NFA，再将NFA确定化。

NFA（Nondeterministic Finite Automaton），非确定有限状态自动机。它与DFA的区别是，一个状态接收某个字符串的下一个状态是不确定的，以及在状态转化中可以接收空字符串$\epsilon$。

3.2.1 正则表达式转NFA

从一个DFA转化为一个正则表达式，我们需要知道下面三条构造规则：

需要注意的是第三条规则有两个空串，我们可能会想能不能省略掉最后那个空边呢？答案是不行的，因为在某些情况下可能会有错误。

举个例子：正则表达式$(a\mid b)(c\mid d{)}^{\ast }(e\mid f)$。将这个正则表达式转化为NFA。

根据第一条规则，我们可以得到如下的NFA：

根据第二、三条规则我们可以得到如下NFA：

3.2.2 NFA确定化

NFA的确定化：由NFA构造出与其等价的DFA称为NFA确定化。其算法如下：

已知 $A:NFA$， 构造$A’:DFA$。

• 令$A’$的初始状态为$I_0’=\epsilon \_CLOSURE(S1,S2,\dots Sk)$，其中$S1\dots Sk$是$A$的全部初始状态。

• 若$I=S_1,\dots ,S_m$是$A’$的一个状态，$a\in \sum$，则定义$f’(I,a)=I_a$，将$I_a$加入$S’$，重复该过程，直到$S’$不产生新状态。

• 若$I’=S_1,\dots ,S_n$是$A’$的一个状态,且存在一个$S_i$是$A$的终止状态，则令$I’$为$A’$的终止状态。

举个例子：

这个NFA确定化的过程如下：

• NFA的初始状态是1，该状态可以接收一个空闭包ε到状态2。因此DFA的初始状态是 {1,2}
• 由上可知DFA的初始状态是 {1,2}，{1,2} 中的 1 接收输入字a可转换到 {4,5}，而 {4,5} 接收空闭包到状态 {6,7}，其中 6 还可以接收空闭包到状态 2。而 2 不能接收输入字 a。因此 {1,2} 接收输入字a可转换到 {2,4,5,6,7}。
• {1,2} 中的 1 不能接收输入字 b；2 接收输入字 b 到 状态3，状态 3 还可以接收空闭包到状态 8。因此 {1,2} 接收输入字b到状态 {3,8}。
• 进行如上三步后，DFA 中的状态有 {1,2}、{2,4,5,6,7}、{3,8}，其中 {1,2} 状态转换后的状态已经算完。
• 接下来，我们再看DFA的状态 {2,4,5,6,7}。该状态不能接收输入字a；该状态中的2状态接收 b 到达 3 状态，该 3 状态接收空闭包还可到达8状态。其中的 6 状态和 7 状态均可接收输入字b到达9状态。于是DFA的状态中多了一个状态{3,8,9}。
• 我们再看DFA中状态{3,8}。其中的状态8接收输入字a可以到达状态9；状态{3,8}不能接收输入字b。因此 DFA 的状态增加一个状态{9}。
• 再来看状态{3,8,9}，其中的状态8接收输入字a可以到达状态9；该状态不能接收输入字b。由于DFA中已经有状态{9}，不再重复加入 DFA 的状态。
• 最后只有一个状态 {9} 了，该状态不能接收任何输入字。
• 总结出DFA中有状态 {1,2}，{2,4,5,6,7}，{3,8}，{3,8,9}，{9}。其中包含有NFA的终止状态 6 7 9 中任意一个状态的状态是DFA的终止状态。

表格如下：

状态 \ 输入字	a	b
+{1,2}	{2,4,5,6,7}	{3,8}
-{2,4,5,6,7}	{}	{3,8,9}
{3,8}	{9}	{}
-{3,8,9}	{9}	{}
-{9}	{}	{}

最终转化出来的DFA如下：

四 js中的正则

上面讲到的手机号码的验证规则中，你会发现跟我们在代码中写的正则表达式有所不同，在js中，电话号码的正则表达式为：
$\wedge 1(3[0-9]|5[0-3,5-9])\setminus d\{2\}$$ （式1）

同样，下面这个正则表达式也能匹配到相同的结果：

$\wedge 1(3\setminus d\{3\}\mid 5[0-3,5-9]\setminus d\{2\})$$ （式2）

也就是说，我们同一个匹配需求，有多种不同的正则表达式都能达成。导致这种现象出现的主要原因是：自动机不一样。例如，电话号码的例子，我们绘制的自动机也有可能是这样的：

这个自动机对应的正则表达式即为式2。

上面式1的正则表达式跟我们前文讲的也有所不同，这是因为在不同语言中，对正则表达式又有不同的规则。比如：在真正的电话号码中，后8位为任意数字，那我们就需要写8次$[0-9]$，这也太麻烦了，要是写100次呢。所以出现了$\setminus d\{8\}$这个操作，表示任意数字重复8次。在不同语言中，引入了不同的修饰符、模式等定义，简化正则表达式的书写。js中，我们主要会用到以下定义：

符号	描述
i	执行对大小写不敏感的匹配。
g	执行全局匹配（查找所有匹配而非在找到第一个匹配后停止）。
m	执行多行匹配。
[]	查找方括号之间的任何字符。
|	查找任何从 0 至 9 的数字。查找任何以
\d	查找任何从 0 至 9 的数字。
\s	查找空白字符。
\b	匹配单词边界。
\uxxxx	查找以十六进制数 xxxx 规定的 Unicode 字符。
n+	匹配任何包含至少一个 n 的字符串。
n*	匹配任何包含零个或多个 n 的字符串。
n?	匹配任何包含零个或一个 n 的字符串。