证明幂函数x^n的导数

$f^{\prime }(x)=\underset{△x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$

证明：求函数$f^{\prime }(x)=x^n(x\in N_{+})的导数$
方法一：$f^{\prime }(x)=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{(x+△x{)}^n-x^n}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{C_n^n{x}^n△x^0+C_n^{n-1}{x}^{n-1}△x^1+...+C_n^0{x}_n^0△x^n-x^n}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{C_n^{n-1}{x}^{n-1}△x^1+...+C_n^0{x}_n^0△x^n}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }{C}_n^{n-1}{x}^{n-1}+...+C_n^0{x}_n^0△x^{n-1}$
∵$△x\to 0$ ∴$有△x的项都为0$
即：$f^{\prime }(x)=\underset{△x\to 0}{\lim }{C}_n^{n-1}{x}^{n-1}=n\ast x^{n-1}$
方法二：使用等价无穷
$\underset{a\to 0}{\lim }(1+a{)}^n-1=n\ast a$

∴$f^{\prime }(x)=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{(x+△x{)}^n-x^n}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{(\frac{x+△x}{x}{)}^n-(\frac{x}{x}{)}^n}{(\frac{△x}{x^n})}=x^{n-1}\ast \underset{△x\to 0}{\lim }\frac{(1+\frac{△x}{x}{)}^n-1}{\frac{△x}{x}}=x^{n-1}\ast n$