代码随想录刷题Day43 | 1049. 最后一块石头的重量 II | 494. 目标和 | 474. 一和零

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1049. 最后一块石头的重量 II

题目:

有一堆石头,用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合,从中选出任意两块石头,然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 xy,且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下:

  • 如果 x == y,那么两块石头都会被完全粉碎;
  • 如果 x != y,那么重量为 x 的石头将会完全粉碎,而重量为 y 的石头新重量为 y-x

最后,最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下,就返回 0

示例 1:

输入:stones = [2,7,4,1,8,1]
输出:1
解释:
组合 2 和 4,得到 2,所以数组转化为 [2,7,1,8,1],
组合 7 和 8,得到 1,所以数组转化为 [2,1,1,1],
组合 2 和 1,得到 1,所以数组转化为 [1,1,1],
组合 1 和 1,得到 0,所以数组转化为 [1],这就是最优值。

思路:

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆,相撞之后剩下的石头最小,这样就化解成01背包问题了

本题物品的重量为stones[i],物品的价值也为stones[i]。

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

接下来进行动规五步曲:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量(这里说容量更形象,其实就是重量)为j的背包,最多可以背dp[j]这么重的石头

  1. 确定递推公式

01背包的递推公式为:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是:dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i],看着有点晕乎。

还是要牢记dp[j]的含义,要知道dp[j - stones[i]]为 容量为j - stones[i]的背包最大所背重量。

  1. dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量,那么最大容量(重量)是多少呢,就是所有石头的重量和。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30,1 <= stones[i] <= 1000,所以最大重量就是30 * 1000 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半,所以dp数组开到15000大小就可以了。

当然也可以把石头遍历一遍,计算出石头总重量 然后除2,得到dp数组的大小。

我这里就直接用15000了。

接下来就是如何初始化dp[j]呢,因为重量都不会是负数,所以dp[j]都初始化为0就可以了,这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

代码为:

vector dp(15001, 0);
  1. 确定遍历顺序

在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组) (opens new window)中就已经说明:如果使用一维dp数组,物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒序遍历!

代码如下:

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}
  1. 举例推导dp数组

举例,输入:[2,4,1,1],此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ,dp数组状态图如下:

代码随想录刷题Day43 | 1049. 最后一块石头的重量 II | 494. 目标和 | 474. 一和零_第1张图片

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头,一堆石头的总重量是dp[target],另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候,target = sum / 2 因为是向下取整,所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

代码:

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < stones.length; i++) sum += stones[i];
        int half = sum / 2;
        int[] dp = new int[half + 1];
        for(int i = 0; i < stones.length; i++){
            for(int j = half; j >= stones[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[half] - dp[half];
    }
}

494. 目标和

题目:

给你一个整数数组 nums 和一个整数 target

向数组中的每个整数前添加 '+''-' ,然后串联起所有整数,可以构造一个 表达式

  • 例如,nums = [2, 1] ,可以在 2 之前添加 '+' ,在 1 之前添加 '-' ,然后串联起来得到表达式 "+2-1"

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1:

输入:nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出:5
解释:一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

思路:

假设加法的总和为x,那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = S

x = (S + sum) / 2

此时问题就转化为,装满容量为x背包,有几种方法

大家看到(S + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了,例如sum 是5,S是2的话其实就是无解的,所以:

if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案

同时如果 S的绝对值已经大于sum,那么也是没有方案的。

if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案

再回归到01背包问题,为什么是01背包呢?

因为每个物品(题目中的1)只用一次!

这次和之前遇到的背包问题不一样了,之前都是求容量为j的背包,最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j] 表示:填满j(包括j)这么大容积的包,有dp[j]种方法

其实也可以使用二维dp数组来求解本题,dp[i][j]:使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j(包括j)这么大容量的包,有dp[i][j]种方法。

下面我都是统一使用一维数组进行讲解, 二维降为一维(滚动数组),其实就是上一层拷贝下来。

  1. 确定递推公式

有哪些来源可以推出dp[j]呢?

不考虑nums[i]的情况下,填满容量为j的背包,有dp[j]种方法。

那么考虑nums[i]的话(只要搞到nums[i]),凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如:dp[j],j 为5,

  • 已经有一个1(nums[i]) 的话,有 dp[4]种方法 凑成 dp[5]。
  • 已经有一个2(nums[i]) 的话,有 dp[3]种方法 凑成 dp[5]。
  • 已经有一个3(nums[i]) 的话,有 dp[2]中方法 凑成 dp[5]
  • 已经有一个4(nums[i]) 的话,有 dp[1]中方法 凑成 dp[5]
  • 已经有一个5 (nums[i])的话,有 dp[0]中方法 凑成 dp[5]

那么凑整dp[5]有多少方法呢,也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式,都是类似这种:

dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到!

  1. dp数组如何初始化

从递归公式可以看出,在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1,因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源,如果dp[0]是0的话,递归结果将都是0。

dp[0] = 1,理论上也很好解释,装满容量为0的背包,有1种方法,就是装0件物品。

dp[j]其他下标对应的数值应该初始化为0,从递归公式也可以看出,dp[j]要保证是0的初始值,才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。

  1. 确定遍历顺序

nums放在外循环,target在内循环,且内循环倒序。

  1. 举例推导dp数组

输入:nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下:

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代码:

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];
        if((sum + target) % 2 == 1) return 0;
        if(Math.abs(target) > sum) return 0;
        int x = (sum + target) / 2;
        if(x < 0) x = -1 * x;
        int[] dp = new int[x + 1];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            for(int j = x; j >= nums[i]; j--){
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[x];
    }
}

474. 一和零

题目:

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 mn

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度,该子集中 最多m0n1

如果 x 的所有元素也是 y 的元素,集合 x 是集合 y子集

示例 1:

输入:strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出:4
解释:最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ,因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意,因为它含 4 个 1 ,大于 n 的值 3 。

思路:

本题中strs 数组里的元素就是物品,每个物品都是一个!

而m 和 n相当于是一个背包,两个维度的背包

理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了,感觉这是不同数量的物品,所以以为是多重背包。

但本题其实是01背包问题!

这不过这个背包有两个维度,一个是m 一个是n,而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

开始动规五部曲:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j]:最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]

  1. 确定递推公式

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来,strs里的字符串有zeroNum个0,oneNum个1。

dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

然后我们在遍历的过程中,取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

此时大家可以回想一下01背包的递推公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

对比一下就会发现,字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量(weight[i]),字符串本身的个数相当于物品的价值(value[i])。

这就是一个典型的01背包! 只不过物品的重量有了两个维度而已。

  1. dp数组如何初始化

01背包的dp数组初始化为0就可以。因为物品价值不会是负数,初始为0,保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

  1. 确定遍历顺序

外层for循环遍历物品,内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历!

  1. 举例推导dp数组

以输入:[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”],m = 3,n = 3为例

最后dp数组的状态如下所示:

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代码:

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for(String str : strs){
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for(char c : str.toCharArray()){
                if(c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for(int i = m; i >= zeroNum; i--){
                for(int j = n; j >= oneNum; j--){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

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