【Leetcode.198】打家劫舍--动态规划入门

问题背景：

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。

示例 1:

输入: [1,2,3,1]
输出: 4
解释: 偷窃1号房屋(金额=1),然后偷窃3号房屋(金额=3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2:

输入: [2,7,9,3,1]
输出: 12
解释: 偷窃1号房屋(金额=2),偷窃3号房屋(金额=9)，接着偷窃5号房屋(金额=1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

定义子问题

原问题是从全部房子中能偷到的最大金额，将问题的规模缩小，子问题就是从k个房子中能偷到的最大金额，用 f(k)表示。

子问题需要具备两个性质：

• 原问题要能由子问题表示；上述当k=n时，子问题就是原问题；
• 一个子问题的解可以通过其他子问题的解求出（最优子结构）；上述的f(k)可以由f(k-1)和f(k-2)求出；

子问题的递推关系

假设一共有n个房子，每个房子的金额分别是H₀，H₁，…，H_n-1，子问题f(k)表示从前k个房子（H₀，H₁，…，H_k-1）能偷到的最大金额。于是有两种偷法：

k 个房子中最后一个房子是 H_k-1 。如果不偷这个房子，那么问题就变成在前 k−1 个房子中偷到最大的金额，也就是子问题 f(k-1)。如果偷这个房子，那么前一个房子 H_k-2显然不能偷，其他房子不受影响。那么问题就变成在前 k-2个房子中偷到的最大的金额。两者取其大：f(k) = max{ f(k−1), H_k-1 + f(k−2) }

在写递推关系的时候，要注意写上 k=0 和 k=1 的基本情况：

• 当 k=0 时，没有房子，所以 f(0)=0。
• 当 k=1 时，只有一个房子，偷这个房子即可，所以 f(1) = H₀。
  这样才能构成完整的递推关系，后面写代码也不容易在边界条件上出错。

DP数组计算顺序

动态规划有两种计算顺序，一种是自顶向下的、使用备忘录的递归方法，一种是自底向上的、使用 dp 数组的循环方法。不过在普通的动态规划题目中，99% 的情况我们都不需要用到备忘录方法，所以我们最好坚持用自底向上的 dp 数组。

DP 数组也可以叫”子问题数组”，因为 DP 数组中的每一个元素都对应一个子问题。如下图所示，dp[k] 对应子问题 f(k)，即偷前 k 间房子的最大金额。

那么，只要搞清楚了子问题的计算顺序，就可以确定 DP 数组的计算顺序。对于小偷问题，我们分析子问题的依赖关系，发现每个 f(k) 依赖 f(k-1)和 f(k-2)。也就是说，dp[k] 依赖 dp[k-1] 和 dp[k-2]，如下图所示。

既然 DP 数组中的依赖关系都是向右指的，DP 数组的计算顺序就是从左向右。这样我们可以保证，计算一个子问题的时候，它所依赖的那些子问题已经计算出来了。

确定了 DP 数组的计算顺序之后，我们就可以写出题解代码了：

def rob(self, nums: List[int]) -> int:
    if len(nums) == 0:
        return 0
    # 子问题：
    # f(k) = 偷 [0..k) 房间中的最大金额
    # f(0) = 0
    # f(1) = nums[0]
    # f(k) = max{ rob(k-1), nums[k-1] + rob(k-2) }
    n = len(nums)
    dp = [0] * (n+1)
    dp[0] = 0
    dp[1] = nums[0]
    for i in range(2, n+1):
        dp[i] = max(dp[i-1], nums[i-1] + dp[i-2])
    return dp[n]

空间优化

空间优化的基本原理是，很多时候我们并不需要始终持有全部的 DP 数组。对于小偷问题，我们发现，最后一步计算 f(n)的时候，实际上只用到了 f(n-1) 和f(n−2) 的结果。n-3之前的子问题，实际上早就已经用不到了。那么，我们可以只用两个变量保存两个子问题的结果，就可以依次计算出所有的子问题。下面的动图比较了空间优化前和优化后的对比关系：
空间复杂度也从 O(n)降到了 O(1)。优化后的代码如下所示:

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        pre = 0
        cur = 0
        for i in nums:
            # 循环开始时，cur 表示 dp[k-1]，pre 表示 dp[k-2]
            # dp[k] = max(dp[k-1], dp[k-2] + i)
            pre, cur = cur, max(cur, pre + i)
        # 循环结束时，cur 表示 dp[k]，pre 表示 dp[k-1]
        return cur

链接地址：动态规划题解