【Matlab】创建连续时间模型（控制系统工具箱）
本节用tf, zpk, ss, 和 frd命令来创建连续时间模型。
文章目录
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- LTI线性时不变模型
- 创建传递函数模型
- 创建零极点增益模型
- 创建状态空间模型
- 创建频率响应数据模型
- 创建MIMO（多输入多输出模型）
- 分析LTI（线性时不变模型）
LTI线性时不变模型
控制系统工具箱™提供了用于创建线性时不变 （LTI） 模型的四个基本表示形式的函数：
- 传递函数 （TF） 模型
- 零极点增益 （ZPK） 型号
- 状态空间 （SS） 模型
- 频率响应数据 （FRD） 模型
将模型数据作为输入，这些函数就能创建对应的模型对象。
创建传递函数模型
传递函数（TF）是LTI系统的频域表示。SISO（single input single output，单输入单输出） 传递函数可以用多项式表示：
H ( s ) = A ( s ) B ( s ) = a 1 s n + a 2 s n − 1 + … + a n + 1 b 1 s m + b 2 s m − 1 + … + b m + 1 H(s) = \frac{A(s)}{B(s)} = \frac{a_{1} s^{n} + a_{2} s^{n-1} + \ldots + a_{n+1}}{b_{1} s^{m} + b_{2} s^{m-1} + \ldots + b_{m+1}} H(s)=B(s)A(s)=b1sm+b2sm−1+…+bm+1a1sn+a2sn−1+…+an+1
传递函数由其分子和分母多项式指定，并且 。在 MATLAB 中，多项式由其系数的向量表示，例如，多项式： s 2 + 2 s + 10 s^{2} + 2 s + 10 s2+2s+10，是由[1 2 10]表示的。
要创建以下表示传递函数的 TF 对象：
H ( s ) = s s 2 + 2 s + 10 H(s) = \frac{s}{s^2+2s+10} H(s)=s2+2s+10s
用代码表示如下：
num = [ 1 0 ]; % Numerator: s
den = [ 1 2 10 ]; % Denominator: s^2 + 2 s + 10
H = tf(num,den)
生成传递函数如下：
或者用下列表达式来表示该模型：
s = tf('s'); % Create Laplace variable 创建拉普拉斯变量
H = s / (s^2 + 2*s + 10)
会生成同样的传递函数：
创建零极点增益模型
零极点增益 （ZPK） 模型是传递函数的因式相乘形式：
H ( s ) = k ( s − z 1 ) … ( s − z n ) ( s − p 1 ) … ( s − p m ) H(s) = k \frac{( s - z_{1} ) \ldots ( s - z_{n} )}{( s - p_{1} ) \ldots ( s - p_{m} )} H(s)=k(s−p1)…(s−pm)(s−z1)…(s−zn)
在这个式子中，k为增益，分子的根为零点，分母的根为极点。
比如要创建这个零极点增益模型：
H ( s ) = − 2 s ( s − 2 ) ( s 2 − 2 s + 2 ) H(s) = \frac{-2 s}{( s - 2 ) ( s^2 - 2 s + 2 )} H(s)=(s−2)(s2−2s+2)−2s
指定零极点和增益如下：
z = 0; % Zeros
p = [ 2 1+i 1-i ]; % Poles
k = -2; % Gain
H = zpk(z,p,k)
生成模型如下：
同样，对于 TF 模型，也可以用下列有理式来表述：
s = zpk('s');
H = -2*s / (s - 2) / (s^2 - 2*s + 2)
生成结果同上：
创建状态空间模型
状态空间 （State-space，SS） 模型是 LTI 系统的时域表示：
d x d t = A x ( t ) + B u ( t ) \frac{dx}{dt} = A x(t) + B u(t) dtdx=Ax(t)+Bu(t)
y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) y(t) = Cx(t) + Du(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)
其中，x（t）是状态向量，u（t）是输入向量，y（t）是输出轨迹。
状态空间模型是从描述系统动力学的微分方程推导出来的。例如，考虑一个简单电机的二阶常微分方程（ODE）：
d 2 θ d t 2 + 2 d θ d t + 5 θ = 3 I \frac{d^2\theta}{dt^2} + 2\frac{d\theta}{dt} + 5\theta = 3I dt2d2θ+2dtdθ+5θ=3I
其中，I是驱动电流（输入），theta是转子角度（输出）。此 ODE 可以以状态空间形式重写为：
d x d t = A x + B I \frac{dx}{dt} = Ax + BI dtdx=Ax+BI
θ = C x + D I \theta = Cx + DI θ=Cx+DI
要创建此模型，创建ss状态空间矩阵并定义A、B、C、D即可。
A = [ 0 1 ; -5 -2 ];
B = [ 0 ; 3 ];
C = [ 1 0 ];
D = 0;
H = ss(A,B,C,D)
生成结果如下：
创建频率响应数据模型
频率响应数据 （FRD） 模型允许您将系统的测量或仿真的复杂频率响应存储在 LTI 对象中。然后，可以将此数据用作频域分析和设计目的的替代模型。
例如，假设从频率分析器中获取以下数据：
频率（赫兹）： 10， 30， 50， 100， 500
响应： 0.0021+0.0009i， 0.0027+0.0029i， 0.0044+0.0052i， 0.0200-0.0040i，0.0001-0.0021i
可以使用以下命令创建包含此数据的 FRD 对象：
freq = [10, 30, 50, 100, 500];
resp = [0.0021+0.0009i, 0.0027+0.0029i, 0.0044+0.0052i, 0.0200-0.0040i, 0.0001-0.0021i];
H = frd(resp,freq,'Units','Hz')
结果如下：
频率单位为rad/s。
创建MIMO（多输入多输出模型）
tf, zpk, ss, 和 frd命令可以创建SISO 和 MIMO 两种模型。对于 TF 或 ZPK 模型，通过连接更简单的 SISO 模型来构造 MIMO 模型通常很方便。例如，可以创建 2x2 MIMO 传递函数：
H ( s ) = [ 1 s + 1 0 s + 1 s 2 + s + 3 − 4 s s + 2 ] H(s) = \left[ \begin{array}{cc} {1\over s+1} & 0 \\ & \\ {s+1 \over s^2+s+3} & {-4s \over s+2} \end{array} \right] H(s)=⎣ ⎡s+11s2+s+3s+10s+2−4s⎦ ⎤
用以下代码表示：
s = tf('s');
H = [ 1/(s+1) , 0 ; (s+1)/(s^2+s+3) , -4*s/(s+2) ]
生成结果如下：
分析LTI（线性时不变模型）
控制系统工具箱可以用于分析 LTI 模型。这些功能的范围从简单的I/O大小和顺序查询到复杂的时间和频率响应分析。
例如，可以获取上面指定的 MIMO 传输函数的大小信息：
size(H)
可以使用以下公式计算极点：
pole(H)
可以使用以下命令询问此系统是否稳定：
isstable(H)
最后，可以通过键入以下内容来绘制阶跃响应：
step(H)
以上。