代码随想录算法训练营第五十七天|647. 回文子串、516.最长回文子序列、动态规划总结篇

647. 回文子串

文档讲解 ： 代码随想录 - 647. 回文子串
状态：再次回顾。

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2. 确定递推公式

   • 当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。
   • 当s[i]与s[j]相等时，有如下三种情况:
     • 情况一：下标i与j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
     • 情况二：下标i与j相差为1，例如aa，也是回文子串
     • 情况三：下标i与j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是i+1与j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

   if (s[i] == s[j]) {
       if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
           result++;
           dp[i][j] = true;
       } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
           result++;
           dp[i][j] = true;
       }
   }
   

3. dp数组初始化
   dp[i][j]初始化为false

4. 确定遍历顺序
   从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
   
   所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

5. 举例推导dp数组:
   举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：
   

本体代码：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n^2)$

516.最长回文子序列

文档讲解 ： 代码随想录 - 516.最长回文子序列
状态：再次回顾。

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2. 确定递推公式
   
   

   if (s[i] == s[j]) {
       dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
   } else {
       dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
   }
   

3. dp数组初始化
   从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到i和j相同时候的情况。
   所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。其他情况dp[i][j]初始为0，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

   vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
   for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
   

4. 确定遍历顺序
   从递归公式中，可以看出，dp[i][j]依赖于dp[i + 1][j - 1]，dp[i + 1][j] 和dp[i][j - 1]，如图：
   

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证下一行的数据都是经过计算的。

5. 举例推导dp数组:
   输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};

• 时间复杂度: $O(n^2)$
• 空间复杂度: $O(n^2)$

动态规划总结篇

文档讲解 ： 代码随想录 - 动态规划总结篇
状态：再次回顾。

动规五部曲分别为：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

动态规划基础

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