三维空间物体视锥投影数学推导

一、三维空间基转换

1.绕原点旋转

二维坐标旋转可以用矩阵表示：

设有向量，那么当向量绕原点逆时针旋转度，那么旋转矩阵为。

推导略。

注：向量是列向量，因此旋转后的向量为：

旋转矩阵可以推广至更高维度的空间，以三维空间为例：

设有向量，那么当向量绕轴逆时针旋转度时，相当于在向量在一个平行于平面的的二维空间中，绕原点旋转，旋转后坐标保持不变，那么旋转矩阵可以改为：

向量绕轴和轴逆时针旋转度的旋转矩阵为：

因此向量在三维空间中，绕原点旋转任意角度，可由以上三个旋转矩阵连乘得到，即：

2.绕特定点旋转

二维空间中绕特定旋转可以用以下矩阵乘法表示：

其中向量用齐次坐标表示，即，。

三个矩阵从右至左的含义分别是：

：平移向量使得空间以为原点

：绕原点旋转

：还原空间的原点

推导略。

推广至三维空间，绕特定点旋转可以表示为：

其中

3. 

 

二、视锥体成像

1.视点空间中的视椎体成像

如下图所示，在一个视点空间中有一根棍子（线段），其中和，点为视点，平面为成像平面，为棍子在视平面上的成像。

注：视点空间是一个左手系的三维线性空间

由于点和点分别是点和点和点的线性组合，因此视线和的空间可以表示为

  即

当时（为视平面在三维空间中的坐标），便能得到在成像平面上的成像。

根据以上可以得出，视点空间中一个物体的成像和两个因素有关：视线（视点和物体的连线）与视平面的相对角度（直接决定在物体在三维空间中的坐标），视平面在物体和视点间的相对位置（即）

如果将视点平移至原点，即如下图所示：

那么等式组(1)可以简化为

其中，因此可以得出：

在成像平面上，点和即平面成像。

一般情况下，，即成像屏幕介于视点和物体之间。

2.透视效果

下图是一个二维空间中的成像示意图，视点为，成像平面为，蓝色实线代表两个离视点距离不同，但是大小相同的物体，蓝色虚线为实际成像，图(a)为正射投影，图(b)为视锥体投影。

从对比图中可以看到，两个一样的物体（物体形状及物体与视平面的角度均一致）在视平面上的正射投影是一致的，但是视椎体投影会因为距离的原因而出现不同的成像，这种现象就是透视效果（近大远小）。

当等式组（2）中的时，即成像屏幕与物体的距离趋向于无穷远时，视椎体投影的比例和正射投影一致，证明略。

3.物体空间到视点空间的转换

物体空间是一个服从右手系的三维空间，蓝色平面为地面，如下图所示：

下图（b）为视点空间，图（a）是成像平面，图（c）为物体空间。

物体空间中的物体映射到视点空间主要有两部操作：

STEP1 翻转轴

STEP2 绕轴逆时针旋转

可以通过转换矩阵实现

其中，即：

三、总结

当需要计算一个三维空间中的物体的二维成像，只需要进行以下两步操作，如下图所示：

STEP1：通过基转换把物体中的物体转换至视点坐标系中，得到物体，即：

其中

STEP2：在视点坐标系中，计算物体在成像屏幕处的成像，即：

 

四、PYTHON实现

# -*- coding:utf-8 -*-

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


def trans_base(x, y, z):
    # 计算三维空间中的旋转矩阵
    Txyz = np.array(
        [
            [np.cos(y) * np.cos(z), -np.cos(y) * np.sin(z), -np.sin(y), 0],
            [np.cos(x) * np.sin(z) - np.sin(x) * np.sin(y) * np.cos(z),
             np.cos(x) * np.cos(z) + np.sin(x) * np.sin(y) * np.sin(z),
             -np.sin(x) * np.cos(y), 0
             ],
            [np.sin(x) * np.sin(z) + np.cos(x) * np.sin(y) * np.cos(z),
             np.sin(x) * np.cos(z) - np.cos(x) * np.sin(y) * np.sin(z),
             np.cos(x) * np.cos(y), 0
             ],
            [0, 0, 0, 1]
        ]
    )
    return Txyz


def gen_cube(a=1):
    # 生成一个以原点为中心,边长为a的正方体
    d = []
    X = np.linspace(a/2, -a/2, 2)
    for x1 in X:
        for x2 in X:
            for x3 in X:
                d.append([x1, x2, x3])
    return np.array(d)


def to_hc(a):
    # 齐次坐标表示矩阵
    a = np.column_stack((a,np.zeros(a.shape[0])))
    r = np.zeros(a.shape[1])
    r[-1] = 1
    a = np.row_stack((a, r))
    return a


def trans_cube(cube, x=0, y=0, z=0):
    # 旋转立方体
    x_ = x / 180 * np.pi
    y_ = y / 180 * np.pi
    z_ = z / 180 * np.pi
    T = trans_base(x_, y_, z_)
    cube2 = to_hc(cube)
    c2 = np.dot(T, cube2.T).T
    return c2[:-1, :-1]


def map_2d(cube, z0):
    # 在二维平面上计算视锥体投影
    cube_ = cube.copy()
    z0_ = max(z0, np.abs(cube_[:, 2].min()))   # 确保立方体不会被成像屏幕穿过
    cube_[:, 2] = cube_[:, 2] + z0_               # 平移立方体
    cube2 = np.dot(np.diag(z0_/cube_[:,2]), cube_)
    l = []
    for i in range(len(cube_)):
        for j in range(len(cube_)):
            d = cube_[i] - cube_[j]
            if d.dot(d)/1-1 < 1E-10:
                tc = np.array([cube2[i], cube2[j]])
                l.append(tc)
    return cube2, l


def plot_2d(cube, thetax, thetay, thetaz, d, color):
    # 旋转并投影
    cube_ = trans_cube(cube, thetax, thetay, thetaz)    # 为了更加生动，对立方体做了旋转
    cube_t = np.dot(trans_cube(cube_, -90, 0, 0), np.diag([1, 1, -1]))   # 从物体空间映射至视点空间
    cube_2d, edges = map_2d(cube_t, d)
    plt.scatter(x=cube_2d[:,0], y=cube_2d[:,1], color=color)
    for e in edges:
        plt.plot(e[:,0], e[:,1], c='grey', alpha=0.3)


def plot_3d(cube, thetax, thetay, thetaz, color):
    # 立方体矩阵
    cube_ = trans_cube(cube, thetax, thetay, thetaz)    # 为了更加生动，对立方体做了旋转
    x, y, z = cube_[:,0], cube_[:,1], cube_[:,2]
    fig=plt.figure()
    ax2 = Axes3D(fig)
    ax2.scatter3D(x, y, z, color=color, s=30)
    for i in range(len(cube_)):
        for j in range(len(cube_)):
            # 绘制棱
            d = cube_[i] - cube_[j]
            if d.dot(d)/1-1 < 1E-10:
                tc = np.array([cube_[i], cube_[j]])
                tx, ty, tz = tc[:,0], tc[:,1], tc[:,2]
                ax2.plot3D(tx, ty, tz, alpha=0.3, c='grey', lw=2)
    fig.show()


# 定义正方体顶角的颜色
color = ['red', 'orange', 'limegreen', 'cyan', 'blue', 'royalblue', 'purple', 'deeppink']

# 生成立方体
cube = gen_cube(a=1)

# 绘图
plot_3d(cube, 45, 45, 45, color)
plot_2d(cube, 45, 45, 45, 1.5, color)    # 近距离投影
plot_2d(cube, 45, 45, 45, 100, color)    # 远距离投影

下图是生成的立方体在三维空间中的呈现：

 

plot_2d函数会生成该立方体在视点空间中的视锥体投影，如下图所示（视距参数）：

如果把视距调远至100，则透视效果将会降低，视锥投影会逼近正射投影，如下图所示：