数据结构（c++）学习笔记--列表

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一、循位置访问

1.从静态到动态

• 根据是否修改数据结构，所有操作大致分为两类方式

  • 静态： 仅读取，数据结构的内容及组成一般不变：get、search
  • 动态： 需写入，数据结构的局部或整体将改变：put、insert、remove

• 与操作方式相对应地，数据元素的存储与组织方式也分为两种

  • 静态
    • 数据空间整体创建或销毁
    • 数据元素的物理存储次序与其逻辑次序严格一致；可支持高效的静态操作
    • 比如向量，元素的物理地址与其逻辑次序线性对应
  • 动态
    • 为各数据元素动态地分配和回收的物理空间
    • 相邻元素记录彼此的物理地址，在逻辑上形成一个整体；可支持高效的动态操作

2.从向量到列表

• 列表（list）是采用动态储存策略的典型结构

  • 其中的元素称作节点（node），通过指针或引用彼此连接
  • 在逻辑上构成一个线性序列：L = { a0, a1, …, an-1 }

• 相邻节点彼此互称前驱（predecessor）或后继（successor）

  • 没有前驱/后继的节点称作首（first/front）/末（last/rear）节点

3.从秩到位置

• 向量支持循秩访问（call-by-rank）：根据元素的秩，可在O(1)时间内直接确定其物理地址

• 然而，此时的循秩访问成本过高，已不合时宜；因此，应改用循位置访问（call-by-position）的方式，亦即，转而利用节点之间的相互引用，找到特定的节点

二、接口与实现

1.列表节点：ADT接口

• 作为列表的基本元素 列表节点首先需要 独立地“封装”实现

• 基本操作接口
  |操作接口 |功能 |
  |–|–|
  |pred() |当前节点前驱节点的位置 |
  |succ() |当前节点后继节点的位置|
  |data() |当前节点所存数据对象 |
  |insertAsPred(e) |插入前驱节点，存入被引用对象e，返回新节点位置|
  |insertAsSucc(e) |插入后继节点，存入被引用对象e，返回新节点位置|

• ListNode模板

template<typename T> using ListNodePosi = ListNode*; //列表节点位置（C++.0x） 
template<typename T> struct ListNode { //简洁起见，完全开放而不再严格封装 
    T data; 
    ListNodePosi pred; 
    ListNodePosi succ; 
    ListNode() {} //针对header和trailer的构造 
    ListNode(T e, ListNodePosi p = NULL, ListNodePosi s = NULL)
        : data(e), pred(p), succ(s) {} //默认构造器 ListNodePosi 
    insertAsPred( T const & e ); //前插入 
    ListNodePosi insertAsSucc( T const & e ); //后插入 
};

2.列表：ADT接口

• ADT接口
  |操作接口 |功能 |适用对象 |
  |–|–|–|
  |size() |报告列表当前的规模（节点总数） |列表 |
  |first(), last() |返回首、末节点的位置| 列表 |
  |insertAsFirst(e), insertAsLast(e) |将e当作首、末节点插入 |列表|
  |insert(p, e), insert(e, p) |将e当作节点p的直接后继、前驱插入 |列表|
  |remove§ |删除位置p处的节点，返回其中数据项 |列表 |
  |disordered() |判断所有节点是否已按非降序排列 |列表|
  |sort() |调整各节点的位置，使之按非降序排列 |列表|
  |find(e) |查找目标元素e，失败时返回NULL |列表|
  |search(e)| 查找e，返回不大于e且秩最大的节点| 有序列|
  |deduplicate(), uniquify() |剔除重复节点| 列表/有序列表|
  |traverse() |遍历列表 |列表|

• List模板类

#include "listNode.h" //引入列表节点类 
template<typename T> class List { //列表模板类
private: 
    int _size; ListNodePosi header, trailer; //哨兵 //头、首、末、尾节点的秩，可分别理解为-1、0、n-1、n 
protected: /* ... 内部函数 */ 
public: /* ... 构造函数、析构函数、只读接口、可写接口、遍历接口 */
};

template void List::init() { //初始化，创建列表对象时统一调用 
    header = new ListNode; 
    trailer = new ListNode; 
    header->succ = trailer; header->pred = NULL; 
    trailer->pred = header; trailer->succ = NULL; 
    _size = 0;
}

3.循秩访问

• 重载下标操作符，可模仿向量的循秩访问方式

template<typename T> //assert: 0 <= r < size 
T List::operator[]( Rank r ) const {
ListNodePosi p = first(); //从首节点出发 
while ( 0 < r-- ) p = p->succ; //顺数第r个节点即是 
return p->data; //目标节点 
} //秩 == 前驱的总数

• 时间复杂度为O®；均匀分布时，期望复杂度为(1+2+3+…+n)/n=O(n)

三、无序列表

1.插入与删除

• 插入

template<typename T> //前插入算法（后插入算法完全对称） 
ListNodePosi ListNode::insertAsPred( T const & e ) { //O(1) 
    ListNodePosi x = new ListNode( e, pred, this ); //创建 
    pred->succ = x; pred = x; //次序不可颠倒 
    return x; //建立链接，返回新节点的位置 
} //得益于哨兵，即便this为首节点亦不必特殊处理——此时等效于insertAsFirst(e)

• 删除

template<typename T> //删除合法位置p处节点，返回其数值 T 
List::remove( ListNodePosi p ) { //O(1) 
    T e = p->data; //备份待删除节点数值（设类型T可直接赋值） 
    p->pred->succ = p->succ; p->succ->pred = p->pred; //短路 
    delete p; 
    _size--; 
    return e; //返回备份数值
}

2.构造与析构

• copyNodes() + 构造

template<typename T> 
void List::copyNodes( ListNodePosi p, int n ) { //O(n) 
    init(); //创建头、尾哨兵节点并做初始化 
    while ( n-- ) { //将起自p的n项依次作为末节点 
        insertAsLast( p->data ); 
        p = p->succ; 
    } 
}

• clear() + 析构

template<typename T> 
List::~List() //列表析构 { 
    clear(); delete header; delete trailer; 
} //清空列表，释放头、尾哨兵节点 

template<typename T> 
int List::clear() { //清空列表 
    int oldSize = _size; 
    while ( 0 < _size ) //反复删除首节点，O(n) 
    remove( header->succ ); 
    return oldSize; 
}

3.查找与去重

• 查找

template<typename T> 
ListNodePosi List::find( T const & e, int n, ListNodePosi p ) const { 
    while ( 0 < n-- ) //自后向前 
    if ( e == ( p = p->pred ) ->data ) //逐个比对（假定类型T已重载“==”） 
        return p; //在p的n个前驱中，等于e的最靠后者 
    return NULL; 
} //O(n)

• 去重

template<typename T> int List::deduplicate() { 
    int oldSize = _size;
    ListNodePosi p = first(); 
    for ( Rank r = 0; p != trailer; p = p->succ ) //O(n) 
        if ( ListNodePosi q = find( p->data, r, p ) ) //O(n) 
            remove ( q ); 
        else r++; //无重前缀的长度 
    return oldSize - _size; //删除元素总数 
} //正确性及效率分析的方法与结论，与Vector::deduplicate()相同

4.遍历

//函数指针
template<typename T> void List::traverse( void ( * visit )( T & ) ) { 
    for(NodePosi p = header->succ; p != trailer; p = p->succ) 
        visit( p->data ); 
}

//函数对象
template<typename T> template<typename VST> void List::traverse( VST & visit ) { 
    for( NodePosi p = header->succ; p != trailer; p = p->succ ) 
        visit( p->data ); 
}

四、有序列表

1.唯一化

template<typename T> 
int List::uniquify() { 
    if ( _size < 2 ) return 0; //平凡列表自然无重复 
    int oldSize = _size; //记录原规模 
    ListNodePosi p = first(); ListNodePosi q; //各区段起点及其直接后继 
    while ( trailer != ( q = p->succ ) ) //反复考查紧邻的节点对(p,q) 
        if ( p->data != q->data ) p = q; //若互异，则转向下一对 
        else remove(q); //否则（雷同）直接删除后者，不必如向量那样间接地完成删除 
    return oldSize - _size; //规模变化量，即被删除元素总数 
} //只需遍历整个列表一趟，O(n)

2.查找

template<typename T> 
ListNodePosi List::search( T const & e, int n, ListNodePosi p ) const { 
    do { p = p->pred; n--; } //从右向左 
    while ( ( -1 < n ) && ( e < p->data ) ); //逐个比较，直至命中或越界 
    return p; //失败时，返回区间左边界的前驱（可能是header） 
}

• 性能 + 拓展

  • 最好O(1)，最坏O(n)；等概率时平均O(n)，正比于区间宽度

  •  语义与向量相似，便于插入排序等后续操作：insert( search( e, r, p ), e )

  • 按照循位置访问的方式，物理存储地址与其逻辑次序无关;依据秩的随机访问无法高效实现，而只能依据元素间的引用顺序访问

五、选择排序

1.代码

template<typename T> void List::selectionSort( ListNodePosi p, int n ) { 
    ListNodePosi head = p->pred, tail = p; 
    for ( int i = 0; i < n; i++ ) 
        tail = tail->succ; //待排序区间为(head, tail) 
    while ( 1 < n ) { //反复从（非平凡）待排序区间内找出最大者，并移至有序区间前端 
        insert(remove( selectMax( head->succ, n ) ), tail ); //可能就在原地... 
        tail = tail->pred; n--; //待排序区间、有序区间的范围，均同步更新 
    } 
}

template<typename T>  
ListNodePosi List::selectMax( ListNodePosi p, int n ) { //Θ(n) 
    ListNodePosi max = p; //最大者暂定为p 
    for ( ListNodePosi cur = p; 1 < n; n-- ) //后续节点逐一与max比较 
        if ( ! lt( (cur = cur->succ)->data, max->data ) ) //data≥max 
            max = cur; //则更新最大元素位置记录 
    return max; //返回最大节点位置 
}

2.稳定性

• 稳定性：有多个元素同时命中时，约定返回其中特定的某一个（比如最靠后者）

• 在这里，需要采用比较器!lt()或ge()，从而等效于后者优先;若采用平移法，如此即可保证，重复元素在列表中的相对次序，与其插入次序一致

3.性能分析

• 共迭代n次，在第k次迭代中
  • selectMax() 为Θ(n - k)
  • swap()/remove() + insert() 为 O(1)

故总体复杂度应为Θ(n2)

• 尽管如此，元素的移动操作远远少于起泡排序；也就是说，Θ(n2)主要来自于元素的比较操作（实际更为费时，成本相对更低）

• 利用高级数据结构，selectMax()可改进至O(logn)

六、循环节

1.循环节

• 任何一个序列A[0,n)，都可以分解为若干个循环节

• 任何一个序列A[0,n)，都对应于一个有序序列S[0,n)

• 元素A[k]在S中对应的秩，记作r(A[k])=r(k)∈[0,n)

• 元素A[k]所属的循环节是:A[k],A[r(k)],A[r(r(k))],…,A[r(…(r(r(k))))]=A[k]

• 每个循环节，长度均不超过n

• 循环节之间，互不相交

2.单调性

• 采用交换法，每迭代一步，M都会脱离原属的循环节，自成一个循环节

• M原所属循环节，长度恰好减少一个单位；其余循环节，保持不变

3.无效的交换

• M已经就位，无需交换

• 最初有c个循环节，就出现c次 —— 最大值为n，期望Θ(logn)

七、插入排序

1.减而治之

• 不变性

  • 序列总能视作两部分： S[0, r) + U[r, n)

• 初始化：|S| = r = 0

• 反复地，针对e = A[r] 在S中查找适当位置，以插入e

2.代码

template<typename T> void List::insertionSort( ListNodePosi p, int n ) { 
    for ( int r = 0; r < n; r++ ) { //逐一引入各节点，由S 得到 r Sr+1 
        insert( search( p->data, r, p ), p->data ); 
        p = p->succ; 
        remove( p->pred ); //转向下一节点 
    } //n次迭代，每次O(r + 1) 
} //仅使用O(1)辅助空间，属于就地算法

• 紧邻于search()接口返回的位置之后插入当前节点，总是保持有序

3.平均性能：后向分析

• e=[r]刚插入完成的那一时刻,此时的有序前缀[0,r]中其中的r+1个元素均有可能是e,且概率均为1/(r+1)

• 因此，在刚完成的这次迭代中为引入S[r]所花费时间的数学期望为$1+{\sum }_{k=0}^{r}k/(r+1)=1+r/2$

• 于是，总体时间的数学期望为${\sum }_{r=0}^{n-1}(r/2+1)=O(n^2)$

八、归并排序

template<typename T> void List::mergeSort( ListNodePosi & p, int n ) { 
    if ( n < 2 ) return; //待排序范围足够小时直接返回，否则... 
    ListNodePosi q = p; int m = n >> 1; //以中点为界 
    for ( int i = 0; i < m; i++ ) q = q->succ; //均分列表：O(m) = O(n) 
    mergeSort( p, m ); mergeSort( q, n – m ); //子序列分别排序 
    p = merge( p, m, *this, q, n – m ); //归并 
} //若归并可在线性时间内完成，则总体运行时间亦为O(nlogn)

template<typename T> ListNodePosi<T> 
List::merge( ListNodePosi p, int n, List & L, ListNodePosi q, int m ) { 
    ListNodePosi pp = p->pred; //归并之后p或不再指向首节点，故需先记忆，以便返回前更新 
    while ( ( 0 < m ) && ( q != p ) ) //小者优先归入 
        if ( ( 0 < n ) && ( p->data <= q->data ) ) { 
            p = p->succ; n--; 
        } //p直接后移 
        else { 
            insert( L.remove( ( q = q->succ )->pred ) , p ) ); m--; 
        } //q转至p之前 
    return pp->succ; //更新的首节点 
} //运行时间O(n + m)，线性正比于节点总数

九、逆序对

1.逆序对（Inversion）

• 考查序列A[0, n)，设元素之间可比较大小

  • is called an inversion if 0≤iA[j]

• 为便于统计，可将逆序对统一记到后者的账上

  • I(j)=||{0≤iA[j] and hence is an inversion}||

• 实例

  • A[] = { 5, 3, 1, 4, 2 } 中，共有 0 + 1 + 2 + 1 + 3 = 7 个逆序对
  • A[] = { 1, 2, 3, 4, 5 } 中，共有 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 个逆序对
  • A[] = { 5, 4, 3, 2, 1 } 中，共有 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 个逆序对

• 显然，逆序对总数 $I={\sum }_{j}I(j)\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=O(n^2)$

2.起泡排序

• 在序列中交换一对逆序元素，逆序对总数必然减少

• 在序列中交换一对紧邻的逆序元素，逆序对总数恰好减一

• 因此对于Bubblesort算法而言，交换操作的次数恰等于若共含 个逆序对，则输入序列所含逆序对的总数

3.插入排序

• 针对e=A[r]的那一步迭代恰好需要做I®次比较

• 若共含I个逆序对，则

  • 关键码比较次数为O(I)

  • 运行时间为O(n+I)

4.计数

• 任意给定一个序列，如何统计其中逆序对的总数？
  • 蛮力算法需要O($n^2$)时间；而借助归并排序，仅需O($n\log n$)时间

十、游标实现

1.动机与构思

• 某些语言不支持指针类型，即便支持 频繁的动态空间分配也影响总体效率
• 利用线性数组，以游标方式模拟列表
  • elem[]：对外可见的数据项
  • link[]：数据项之间的引用
    
• 维护逻辑上互补的列表data和free

2.实例