至善迎风
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线性代数 第五章 特征值与特征向量

一、特征值定义

A\alpha =\lambda \alpha ,a\neq 0

二、特征值求法

  • 定义法；
  • \left | \lambda E-A \right |=0；
  • 相似。

三、特征向量求法

  • 定义法；
  • 基础解系法；
  • (\lambda E-A)x=0；
  • 相似。

四、特征值性质

  1. 不同特征值的特征向量线性无关
  2. k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
  3. \left | A \right |=\prod \lambda _i,\sum a_{ii}=\sum \lambda _i

五、相似的定义

若P^{-1}AP=B，则A和B相似。

六、相似的性质（必要条件）

  • r(A)=r(B)
  • \left | A \right |=\left | B \right |
  • \left | \lambda E-A \right |=\left | \lambda E-B \right |
  • \sum a_{ii}=\sum b_{ii}

七、可对角化

7.1 充要条件
  • A有n个线性无关的特征向量
  • 如果λ是k重特征值，那么λ必有k个线性无关的特征向量
  • r(\lambda _i E-A)=n-n_i,\lambda _i为n_i重特征值
7.2 充分条件
  • A有n个不同的特征值
  • A是实对称矩阵

八、实对称矩阵隐含的信息

  • 必与对角矩阵相似
  • 可用正交矩阵对角化，且对角阵上的元素即为特征值
  • 不同特征值的特征向量必正交
  • 特征值必是实数，特征向量必是实向量
  • k重特征值必有k个线性无关的特征向量（r(\lambda E-A)=n-k）
  • n阶实对称矩阵A有n个特征值的话（含重根），若r(A)
  • 秩等于非零特征值的个数

P_1^{-1}AP_1=B,P_2^{-1}BP_2=C\Rightarrow P^{-1}AP=C,P=P_1P_2

A kA+E A+kE A^{-1} A^* A^n P^{-1}AP
\lambda k\lambda +1 \lambda +k \frac{1}{\lambda } \frac{\left | A \right |}{\lambda } \lambda ^n \lambda
\alpha \alpha \alpha \alpha \alpha \alpha P^{-1}\alpha

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