线代第五章 特征值和特征向量 复习笔记

Aα=λα    n阶矩阵A×特征向量= 特征值×特征向量

A:n阶矩阵

α:一个n维向量——矩阵A属于特征值λ的特征向量(特征向量α是非零向量

λ:一个数——矩阵A的特征值

由Aα=λα移项得 λα-Aα=0→结合律得 (λE-A)α=0

特征多项式 |λE-A|

特征方程 |λE-A|=0

由于α为非零向量|α|≠0,|λE-A|×|α|=0→|λE-A|=0  所有符合等式的λ即为特征值

齐次方程组 (λE-A)x=0

每一个特征值λ都对应一个齐次方程组→求特征向量α就转变为求齐次方程组的非零解

常见题型一:给定n阶矩阵A,求其特征值和特征向量。

步骤

1、写出特征多项式(行列式)|λE-A|

2、根据特征方程 |λE-A|=0 解出矩阵A所有的特征值λi

3、分别将λi代入方程 (λE-A)x=0中,求得基础解系α1、α2…(一共n-r个解向量)

4、线性组合基础解系 k1α1+k2α2+…(k1、k2不全为零),即为矩阵A属于特征值λi的所有特征向量


若基础解系只有1个解向量,线性组合基础解系 k1α1(k1≠0)。

原因是:特征向量α是非零向量,α≠O


注意:同一道题中,不同特征值λ对应的特征向量在线性组合时,要用k1、k2、k3…,不能只用同一个k。例如λ1对应的特征向量为k1α1(k1≠0),λ2对应的特征向量为k2α1(k2≠0)

常见题型二:给定n阶矩阵A的所有特征值,做加减变形后得新矩阵,求新矩阵的特征值。 P254例5

步骤

1、往往用假设法,设矩阵A属于特征值-1的特征向量是α1,即Aα1= -α1

2、用新矩阵乘以该特征向量α1:B=2E-A,Bα1=(2E-A)α1=2α1-Aα1=3α1,

得到新矩阵B的特征值λ1=3

3、依次假设矩阵A属于特征值0的特征向量是α2,即Aα2= 0α2……

做题经常用到的定理:

1、矩阵对应行列式的值:|A|=特征值的乘积λ1·λ2…λn

2、矩阵A的对角线上的元素之和(矩阵的迹tr(A))=特征值的总和λ1+λ2+…+λn

技巧:

已得到n阶矩阵A通过初等行变换化为行最简矩阵: 

(1)常规方法:

1、先找出n-r个(3-1=2)自由变量(黄色的部分)

 2、令x2=t,x3=u(t、u为任意常数)得x1-x2-x3=0即x1=t+u,x2=t,x3=u

通解X=,基础解系

(2)快捷方法:

1、先找出n-r个(3-1=2)自由变量(黄色的部分)

 2、自由变量对应的第2列和第3列先占位

 3、再把?填上,取行最简矩阵中该列的负数(从第一行往下写)

此快捷方法用有难度的题目试一下:P245例6 。快捷方法易错,可以用常规方法验证!两种方法一起使用!


相似矩阵

A为n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使P^(-1)AP=B→ 称A相似于B,B是A的相似矩阵,A~B

若B为对角矩阵,即A的相似矩阵是对角阵→称A可相似对角化

相似矩阵的性质:反身性A~A,对称性A~B→B~A,传递性A~B,B~C→A~C

两个n阶矩阵相似的必要条件:换句话说由两个矩阵相似A~B可以推出两个矩阵的

1、特征多项式相同  |λE-A|= |λE-B|

2、特征值相同  λ1、λ2、…、λn 

3、矩阵的秩相等  r(A)=r(B)

4、对应行列式的值相等  |A|=|B|  (=\prod_{}^{} λi)  

5、矩阵的迹相等  tr(A)=tr(B)  (=\sumλi)

矩阵相似的联想:若A~B→A^n~B^n,  A+kE~B+kE,  A^(-1)~B^(-1)


(矩阵A)可相似对角化的条件

定理:n阶矩阵A可相似对角化的充要条件:矩阵A有n个线性无关的特征向量

推论:若n阶矩阵A有n个不同的特征值→ 则矩阵A可相似对角化。

且A的相似矩阵即对角矩阵线代第五章 特征值和特征向量 复习笔记_第1张图片

对角矩阵的主对角线上元素为特征值λ1、λ2…λn

(A可相似对角化的充分条件)

定理:n阶矩阵A可相似对角化的充要条件:(有重根时)矩阵A某个特征值的重数=该特征值对应线性无关的特征向量的个数

(eg.A可相似对角化↔ λ1=λ2=1,矩阵A属于特征值1的-线性无关的特征向量有2个)


1)可逆矩阵P,使矩阵A相似对角化:P^(-1)AP=Λ(前提是n阶矩阵A可相似对角化)

2)正交矩阵Q,使实对称矩阵A相似对角化:Q^(-1)AQ=Λ


★★★常考题型:求可逆矩阵P 使P^(-1)AP=Λ

步骤

1、求特征值,用特征方程|λE-A|=0:求出矩阵A(设为三阶)的n个特征值 λ1、 λ2、 λ3(可以有重根)

2、求相应的特征向量,用齐次方程组的非零解(λE-A)x=0,系数矩阵A化为行最简矩阵写出基础解系:求出n个线性无关的特征向量α1、 α2、 α3

3、构造可逆矩阵P=(α1,α2,α3),则有P^(-1)AP=Λ=线代第五章 特征值和特征向量 复习笔记_第2张图片


可逆矩阵P由n个特征向量构成。

易错点:对角矩阵Λ的主对角线上的元素(n个特征值的顺序)和可逆矩阵P中n个特征向量的顺序必须一一对应!

eg:可逆矩阵P=(α3,α1,α2),则有P^(-1)AP=Λ=

常考题型:证明矩阵A(已知具体元素) 不可相似对角化

步骤

联想到矩阵A可相似对角化的充要条件:

(1)矩阵A有n个线性无关的特征向量

(2)(有重根时)矩阵A某个特征值的重数= 该特征值对应线性无关的特征向量的个数


(1)和(2)中任意一个满足,都可推出A可相似对角化

(1)和(2)中任意一个条件不成立,都可推出A不可相似对角化


实对称矩阵 

满足A^T=A,即aij=aji

★定理:实对称矩阵 必可相似对角化。

★定理:实对称矩阵 不同特征值的特征向量相互正交。

举例:

若λ1对应特征向量α1,λ2—α2,λ3—α3,则有α1,α2,α3相互两两正交;

有重根时,若λ1=λ2对应特征向量α1,α2,λ3—α3,则有α1和α3相互正交,α2和α3相互正交;

定理:设n阶矩阵A为实对称矩阵,必存在正交矩阵Q,使Q^(-1)AQ= Q^(T)AQ= Λ。 

因为正交矩阵Q有以下性质:Q^(T)=Q^(-1)

★★★常考题型:求正交矩阵Q 使实对称矩阵A相似对角化 Q^(-1)AQ=Λ

步骤

1、求特征值,用特征方程|λE-A|=0:求出矩阵A(设为三阶)的n个特征值 λ1、 λ2、 λ3(可以有重根)

2、求相应的特征向量,用齐次方程组的非零解(λE-A)x=0,系数矩阵A化为行最简矩阵写出基础解系:求出n个线性无关的特征向量α1、 α2、 α3​​​​​​​

3、改造特征向量​​​​​​​

①如果有n个不同的特征值,则有n个特征向量已经正交,只需要单位化,记为γ1,γ2,γ3

②如果特征值有重根,要先判断特征向量是否已经正交:

    若已经正交,只需单位化;

    若不正交,还需要正交化处理(施密特正交化P239先正交再单位化),记为γ1,γ2,γ3

4、构造正交矩阵Q=(γ1,γ2,γ3​​​​​​​),则有Q^(-1)AQ=Λ=线代第五章 特征值和特征向量 复习笔记_第3张图片


正交矩阵Q由n个正交的单位特征向量构成。

易错点:对角矩阵Λ的主对角线上的元素(n个特征值的顺序)和正交矩阵Q中n个正交的单位特征向量的顺序必须一一对应!

eg:正交矩阵Q=(γ3,γ1,γ2​​​​​​​),则有Q^(-1)AQ=Λ=


小结:相似对角化

1)可逆矩阵P,使矩阵A相似对角化:P^(-1)AP=Λ(前提是n阶矩阵A可相似对角化)

2)正交矩阵Q,使实对称矩阵A相似对角化:Q^(-1)AQ=Λ


★综合题型:已知矩阵A是三阶实对称矩阵,已知全部特征值为3,0,0,已知对应特征值λ=3的特征向量为α1=(1,1,1)^T

(1)求矩阵A关于特征值λ=0的特征向量

原理:实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交→两个向量内积为0

步骤 

1、设λ=0的特征向量为α=(x1,x2,x3)^T

2、(α1,α)=x1+x2+x3=0,解得α2=(,,)^T,α3=(,,)^T

线性组合:矩阵A关于λ=0的特征向量为k2α2+k3α3 (k2、k3不全为0)

(2)求矩阵A

原理:特征值和特征向量的定义Aα=λα

           可逆矩阵的定义A、B都是n阶矩阵,B是A的逆矩阵记为B=A^(-1),则AB=E,BA=E

步骤

1、

2、等式两边同时乘得到A,

     线代第五章 特征值和特征向量 复习笔记_第4张图片

(3)求正交矩阵Q使Q^(-1)AQ=Λ

步骤

1、求n个特征值:题干已知λ1=3,λ2=λ3=0

2、求n个线性无关的特征向量:前面小题已经求得α1,α2,α3

3、改造特征向量

      首先判断特征向量是否相互正交:对λ=0,由于(α2,α3)=1≠0,特征向量α2和α3不正交,需要施密特正交化:

      ①正交化线代第五章 特征值和特征向量 复习笔记_第5张图片

      ②再单位化

 4、构造正交矩阵Q=(γ1,γ2,γ3​​​​​​​),则有Q^(-1)AQ=Λ线代第五章 特征值和特征向量 复习笔记_第6张图片​​​​​​​

实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。

线代第五章 特征值和特征向量 复习笔记_第7张图片

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