证明p-norm是凸函数

证明p-norm是凸函数

回顾一下 p-norm的定义，为：
$||x|{|}_p=({\sum }_{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{1/p}$

结论

• 首先给出结论：当$0<p<1$时，Minkowski 不等式不成立，$||\mathbf{x}|{|}_p$未滿足向量范数要求的三角不等式，故不能稱為范数(尽管我們仍可以計算它)。当$1\le p<\infty$时,等式成立，故为凸函数。

性质

• 当$1\le p<\infty$时，向量${\ell }_p-$范数具有如下三个性质：
  1.非负性：对于$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$，$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_p\ge 0$ 且 $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_p=0$ 仅当 $\mathbf{x}=0$。
  2.正齐次性：对于任一純量 c 和 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n，\Vert c\mathbf{x}{\Vert }_p=|c|\Vert \mathbf{x}{\Vert }_p$。
  3.Minkowski 不等式：若 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n，則\Vert \mathbf{x}+\mathbf{y}{\Vert }_p\le \Vert \mathbf{x}{\Vert }_p+\Vert \mathbf{y}{\Vert }_p$。

证明：

• 使用定义即可證明 ${\ell }_p-範數\Vert \mathbf{x}{\Vert }_p，1\le p<\infty$，是一個凸函數。對於 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n且0\le \lambda \le 1$，根據正齊次性和 Minkowski 不等式，立得：
  $\begin{array}{rl}\Vert \lambda \mathbf{x}+(1-\lambda )\mathbf{y}{\Vert }_p& \le \Vert \lambda \mathbf{x}\Vert +\Vert (1-\lambda )\mathbf{y}{\Vert }_p\\ & =\lambda \Vert \mathbf{x}{\Vert }_p+(1-\lambda )\Vert \mathbf{y}{\Vert }_p.\end{array}$
  若 $0<p<1$，$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_p$ 不是一個凸函數，因為 Minkowski 不等式不復成立。

更详细的推导请见，参考：
关于p-norm的证明