力扣50.Pow(x,n) (java快速幂解法)

Problem: 50. Pow(x, n)

思路

当直接用循环解决时，若幂的次数过于大则会严重增加运算时间，为解决该问题而可以采取快速幂算法，可以大大提高运算速度。

对于快速幂应知道：

n为奇数时:$a^n = a \cdot a^{(n - 1)/2} \cdot a^{(n-1)/2}
$
n为偶数时:$a^n=a^{n/2}\cdot a^{n/2}$

但是当n为负数时，我们容易想到将其转换为$\frac{1}{{x^n}}
$来求取（即将n转换成了整数），但是此时我们应该注意若当$n$取-31时，会产生越界（题目中$n \in [-2^{-31}, 2^{31} - 1]
$）,所以我们应当进行一个\ast 降幂处理\ast 将$\frac{1}{{x^{n}}$准换为$\frac{1}{x}{n-1} \cdot {x}}$

解题方法

1.递归实现快速幂函数（退出条件：n == 0 return 1;取幂的一半；分奇数与偶数分别处理）
2.当$n \geq 0
$时直接调用快速幂函数；当$n < 0
$时我们实现$\frac{1}{x^{n-1} \cdot {x}}$进行降幂处理，以防整数的溢出。

复杂度

• 时间复杂度:

$O(logn)$

• 空间复杂度:

$O(logn)$

Code

class Solution {
    //快速幂
    //Time Complexity: O(logn)
    //Space Complexity: O(logn)
    public double myPow(double x, int n) {
        if (n >= 0) {
            return binaryExponentiation(x,n);
        } else {
            return 1 / (binaryExponentiation(x, -1*(n + 1)) * x);//-1*(n + 1)*x 防止n的越界
        }
    }

    //用于求取快速幂的递归函数
    public double binaryExponentiation(double x, int n) {
        //递归退出条件
        //n为0时退出（0次为1）
        if (n == 0) return 1;
        //每次去幂的一般
        double halfPower = binaryExponentiation(x, n/2);
        //奇数次幂时:a^n = a * a ^ (n - 1)/2 * a ^ (n-1)/2
        if (n % 2 != 0) {
            return halfPower * halfPower * x;
        } else {偶数次幂时:a^n = a ^ n/2 * a ^ n/2
            return halfPower * halfPower;
        }
    }
}