1547 切棍子的最小成本（区间DP）

题目

切棍子的最小成本
有一根长度为 n 个单位的木棍，棍上从 0 到 n 标记了若干位置。例如，长度为 6 的棍子可以标记如下：

给你一个整数数组 cuts ，其中 cuts[i] 表示你需要将棍子切开的位置。

你可以按顺序完成切割，也可以根据需要更改切割的顺序。

每次切割的成本都是当前要切割的棍子的长度，切棍子的总成本是历次切割成本的总和。对棍子进行切割将会把一根木棍分成两根较小的木棍（这两根木棍的长度和就是切割前木棍的长度）。请参阅第一个示例以获得更直观的解释。

返回切棍子的 最小总成本 。

示例 1：

输入：n = 7, cuts = [1,3,4,5]
输出：16
解释：按 [1, 3, 4, 5] 的顺序切割的情况如下所示：

第一次切割长度为 7 的棍子，成本为 7 。第二次切割长度为 6 的棍子（即第一次切割得到的第二根棍子），第三次切割为长度 4 的棍子，最后切割长度为 3 的棍子。总成本为 7 + 6 + 4 + 3 = 20 。
而将切割顺序重新排列为 [3, 5, 1, 4] 后，总成本 = 16（如示例图中 7 + 4 + 3 + 2 = 16）。
示例 2：

输入：n = 9, cuts = [5,6,1,4,2]
输出：22
解释：如果按给定的顺序切割，则总成本为 25 。总成本 <= 25 的切割顺序很多，例如，[4, 6, 5, 2, 1] 的总成本 = 22，是所有可能方案中成本最小的。

提示：

2 <= n <= 10^6
1 <= cuts.length <= min(n - 1, 100)
1 <= cuts[i] <= n - 1
cuts 数组中的所有整数都 互不相同

题解

记忆化搜索

class Solution {
    private int[][] cache;
    private List<Integer> list;

    public int minCost(int n, int[] cuts) {
        int m = cuts.length;
        list = new ArrayList<>();
        list.add(0);
        list.add(n);
        for (int x : cuts) {
            list.add(x);
        }
        Collections.sort(list);
        cache = new int[m + 2][m + 2];
        for (int i = 0; i < m + 2; i++) {
            Arrays.fill(cache[i], -1);
        }
        return dfs(0, list.size() - 1);
    }

    private int dfs(int i, int j) {
        if (i + 1 >= j) {
            return 0;
        }
        if (cache[i][j] != -1) {
            return cache[i][j];
        }
        int ans = Integer.MAX_VALUE;
        for (int k = i + 1; k < j; k++) {
            //枚举中间分割的下标 得到ans=min(ans, dfs(i,k)+dfs(k,j)+棍子的长度)
            ans = Math.min(ans, dfs(i, k) + dfs(k, j) + list.get(j) - list.get(i));
        }
        return cache[i][j] = ans;
    }
}

递推

class Solution {
    public int minCost(int n, int[] cuts) {
        int m = cuts.length;
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        list.add(0);
        list.add(n);
        for (int x : cuts) {
            list.add(x);
        }
        Collections.sort(list);
        int[][] f = new int[m + 2][m + 2];
        for (int i = m + 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 2; j < m + 2; j++) {
                f[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for (int k = i + 1; k < j; k++) {
                    f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + list.get(j) - list.get(i));
                }
            }
        }
        return f[0][m + 1];
    }
}