AM@二元函数和多元函数

abstract

• 二元函数和多元函数的定义
• 二元函数的基本问题和几何意义

多元函数的定义

2元函数

• 设$D$是平面上的一个点集,若$\forall (x,y)\in D$,按照某个确定的规则$f$,变量$z$总有唯一值与之对应,则称变量$z$是变量$x,y$的二元函数,记为$z=f(x,y)$,$(x,y)\in D$
  • 其中$x,y$是自变量,而$z$是因变量
  • 平面点集$D$称为该函数的定义域,
  • 数集$\{z\mid z=f(x),(x,y)\in D\}$称为该函数的值域

$n$元函数

• 和二元函数类似的定义

• 设$D$是$n$维空间${\mathbf{R}}^n$内的一个点集,若$\forall (x_1,\cdots ,x_n)\in D$,按照某个确定的规则$f$,变量$u$总有唯一值与之对应,则称变量$u$是变量$x_1,\cdots ,x_n$的**$n$元函数**,记为$u=f(x_1,\cdots ,x_n)$,$(x_1,\cdots ,x_n)\in D$

  • 其中$x_1,\cdots ,x_n$是自变量,而$u$是因变量
  • 点集$D$称为该函数的定义域,
  • 数集$\{u\mid u=f(x_1,\cdots ,x_n),(x_1,\cdots ,x_n)\in D\}$称为该函数的值域

• $n⩾2$时称$f$为多元函数

多元函数定义域

• 一般地仅给出函数的式子的函数,其定义域为自然定义域,由表达函数的式子本身决定的
• 而实际问题中,需要根据实际问题的意义确定定义域
• 例如:$z=\arcsin (x+y)$的定义域,$x+y\in [-1,1]$,并且这个定义域(区域)是一个无界闭区域(由两条直线$x+y=-1,x+y=1$所夹成)

多元抽象函数和多元代换

• 在多元抽象函数中,以二元为例,对于$f({\varphi }_1(x_1,x_2),{\varphi }_2(x_1,x_2))$=$G(x_1,x_2)$(0)得到$f(x_1,x_2)$的方法通常采用换元法(变量代换法)
• 即,令$u_i={\varphi }_i(x,y)$(1),并将$x_i$表示为$u_i$,$(i=1,2)$的式子,可分别设为$x_i={\psi }_i(u_1,u_2)$,$i=1,2$(2)
• 再把等式组(1)代入(0)的等号左端;而把等式组(2)代入(0)的等号右端,得$f(u_1,v_1)$=$G({\psi }_1(u_1,u_1),{\psi }_2(u_1,u_2))$;(3)
• 式(3)已经给出了函数$f$的解析式;更进一步,可根据函数的定义,替换函数的自变量的字母不该不改变函数,式(3)可以写作$f(x_1,x_2)$=$G({\psi }_1(x_1,x_2),{\psi }_2(x_1,x_2))$(3-1)这和(3)表示的是相同的函数,也是问题的解

例

• 例:$f(x+y,\frac{y}{x})$=$x^2-y^2$(0),求$f(x,y)$
  • 令$u=x+y$;(1)$v=\frac{y}{x}$(2)
  • 则$x=u-y$(3),代入到(2),得$v=\frac{y}{u-y}$,整理得$y$=$\frac{vu}{1+v}$(4);代入(3),得$x=u-\frac{vu}{1+v}$=$\frac{u}{1+v}$(5)
  • 由(1,2,4,5)代入(0),从而$f(u,v)$=$(\frac{vu}{1+v}{)}^2$-$(\frac{u}{1+v}{)}^2$=$\frac{(v^2-1)u^2}{(1+v{)}^2}$=$\frac{u^2(v-1)}{v+1}$
  • 所以$f(x,y)$=$\frac{x^2(y-1)}{y+1}$

二元函数的几何意义

空间直角坐标系

• 讨论二元函数的几何意义时,通常选定一个空间直角坐标系$Oxyz$

二元函数的几何图形

• 和一元函数的图形类似,二元函数的图形也是由点构成的点集合(更多元的情形下则是高维点)

• 设给定一个二元函数$z=f(x,y),(x,y)\in D$

  • 任取一个空间直角坐标系$Oxyz$,在$xOy$平面上画出函数$f$的定义域$D$的平面图形
  • 在$D$内任意取点$P(x,y)$,按照$z=f(x,y)$就有空间中的一个点$M(x,y,z)$与之对应
  • 当点$P$在$D$中变化时,相应的点$M$就在空间中变动;
  • 而当$P$取遍整个定义域$D$内的值时,点$M$的全体就是函数$z=f(x,y)$的图形

• 一般地,二元函数$y=f(x,y)$的图形是空间的一张曲面,该曲面在$xOy$平面上的投影区域就是函数$f$得到定义域$D$

例

• $z=\sqrt{1-x^2-(y-1{)}^2}$(0)的几何意义?
  • 对其两边平方变形,便于观察:$z^2$=$1-x^2-(y-1{)}^2$(1),即$x^2+(y-1{)}^2+z^2=1$(2)
  • 而方程(2)表示的是一个以$(0,1,0)$为球心,半径为1的球面S
  • 所以函数$z$其值域为$[0,+\infty ]$为该球面$S$的上半球面

refs

• AM@点与点集的关系@n维空间邻域