动态规划（Dynamic Programming）—— Java解释

一、基本思想

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，并将子问题的求解结果存储起来避免重复求解，从而一步步获取最优解的处理算法。

动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

动态规划的特性主要包括：

1. 分解原问题：动态规划将原问题分解为若干个相似的子问题，这些子问题之间相互独立，并且每个子问题只需要解决一次。
2. 储存子问题的解：动态规划会储存子问题的解，以避免重复计算，这是动态规划能够高效解决复杂问题的关键。
3. 状态转移方程：动态规划的本质在于对问题状态的定义和状态转移方程的定义（状态以及状态之间的递推关系）。
4. 无后效性：每个状态都是“过去历史的一个完整总结”，也就是说，每个状态都包含了它过去的历史信息，而不会受到未来状态的影响。
5. 阶段性和相互联系性：动态规划通常将问题划分为若干个阶段，每个阶段都对应着一组状态，这些状态之间相互联系，构成了整个问题的状态转移过程。
6. 决策变量和允许决策集合：在动态规划中，每个阶段都包含若干个决策变量，这些决策变量的取值范围称为允许决策集合。
7. 状态变量和状态集合：描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的状态变量，状态变量sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。

二、案例说明——背包问题

动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。在填表法中，会为每个子问题预先计算出最优解并填入表中，然后通过查表来获取原问题的最优解。

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品

物品	重量	价格
吉他(G)	1	1500
音响(S)	4	3000
电脑(L)	3	2000

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)

这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。

思路： 利用动态规划来解决。

假设背包容量为weight，有 n 个物品，每个物品的重量为 w[i]，价值为 v[i]。

1. 设 dp[i][j] 表示前 ^`i` 个 物品，容量为j时的最大价值。 —— 定义动态规划的状态，通常是数组或集合。
2. dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，表示在第i个物品和不放第i个物品中选取一个最优解。 —— 定义状态转移方程，根据问题最优解的定义，确定状态之间的转移关系。
3. dp[0][j] = 0，表示不选择任何物品时的价值为0。—— 确定最基本的子问题的解作为边界条件。
4. 填表，从第一个物品开始填表直到最后一个物品。—— 每个子问题的最优解填入对应的状态位置。
5. 查询最优解，dp[n][weight] 即前n个物品，容量为w时的最大价值。 —— 根据需求解的问题的目标状态去查询对应子问题的最优解。

public staic int knapsack(int[] w, int[] v, int weight) {
	int n = w.length;
	int[][] dp = new int[n + 1][weigth + 1];
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= weigth; j++) {
			if (i == 0 || j == 0) {
				dp[i][j] = 0;
			} else if (j < w[i - 1]) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			} else {
				dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
			}
		}
	}
	return dp[n][weight];
}