343. 整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        // dp[i]: 拆分i，得到最大乘积为dp[i];
        // dp[i]:可以拆为dp[j] dp[i-j]
        //2、状态转移：dp[i] = max(j*(i-j),j*dp[i-j]);
        //分两种情况，拆为j 和 i-j
        //   1、i-j不能再拆了，那就是j*(i-j)
        //   2、i-j还能再拆，那就是j*dp[i-j]
        //也可以理解为 拆两个数 j*(i-j)；拆三个即以上j * dp[i-j]; 
        //为什么不是dp[j]呢？我认为，再对j拆分，算是重复了，因为后面dp[i-j]已经拆过了，比方2*dp[4],上一个1*dp[5],对5拆分，可以得到1*1*2*2这个组合，也就是2*dp[4].所以不需要再对j拆分。
        vectordp(n+1);
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3;i <= n;i++){
            for(int j = 1;j < i;j++){ // j< i-1:j=i-1，在j = 1的时候dp[i-j]已经算过了
                //根据常识，数字越集中在一块，乘积越大，和越大。所以也可以j < n/2
                dp[i] = max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};