scipy求解指派问题

1. 指派问题

1.1 问题描述

某公司准备指派$n$个工人 $X_1，X_2，...，X_n$做$n$件工作 $Y_1，Y_2，...，Y_n$，由于每个工人完成不同工作的效率不同，公司希望在所有工作都得到完成的前提下使得效率达到最大考虑。这类指派问题也称为二部图的最小权重匹配问题（minimum weight matching in bipartite graphs）。

一个赋权的完全二部图$G=（V_1，V_2，E）$，其中$V_1=（X_1，X2，.Xn）$，$V_2=（Y_1，Y_2，...，Y_n）$，边$(X_i，Y_j)$上的权重$c_{ij}$表示工人$X_i$完成工作$Y_j$的效率。指派问题显然等价于在该图中寻找有最小权重的完美匹配。

1.2 数学模型

指派问题可表述为如下0-1规划问题：
$$\begin{gathered} min\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij} \\ \sum _{i=1}^n{x}_{ij}=1,i=1,2,...n \\ \sum _{j=1}^n{x}_{ij}=1,j=1,2,...n \\ {x}_{ij}\in \{0,1\} \end{gathered}$$

2. Scipy求解

• scipy.optimize.linear_sum_assignment求解指派问题使用的是匈牙利算法，对于数据要求比较苛刻，成本矩阵不能太大，如果是大型矩阵需要先进行稀疏处理，否则求解效率会变低。
• Scipy官方API

scipy.optimize.linear_sum_assignment()
Solve the linear sum assignment problem.

Parameters:
cost_matrixarray
The cost matrix of the bipartite graph.

maximizebool (default: False)
Calculates a maximum weight matching if true.

Returns:
row_ind, col_indarray
An array of row indices and one of corresponding column indices giving the optimal assignment. The cost of the assignment can be computed as cost_matrix[row_ind, col_ind].sum(). The row indices will be sorted; in the case of a square cost matrix they will be equal to numpy.arange(cost_matrix.shape[0]).

• python代码示例

import numpy as np
from scipy.optimize import linear_sum_assignment

worker_num = 10  # 员工数量
job_num = 10  # 任务数量
# 随机生成成本矩阵
cost_matrix = np.random.randint(1, 10, size=(worker_num, job_num))

# 优化求解得到最佳分配下的行列索引值
row_ind, col_ind = linear_sum_assignment(cost_matrix)

# 输出结果
print('cost_matrix=\n', cost_matrix)
for i in list(zip(row_ind + 1, col_ind + 1)):
    print(i[0], '->', i[1])
print('min_cost=', cost_matrix[row_ind, col_ind].sum())

• 结果