数据结构 编程1年新手视角的平衡二叉树AVL从C与C++实现①

平衡二叉树是一种特化的二叉树，为纪念提出者Adelse-Velskil和Landis，因此也称AVL树。

为什么说它是特化的，特化体现在哪里呢？

平衡二叉树的平衡体现在，它的每个结点的左子树left和右子树right的高度height永远相差不超过1，换句话说，就是可以左边比右边高1，或者右边比左边高1，最好是两侧是同高（有利于检索数据时复杂度保持最低，从树另一个角度看是保证了两边吸收阳光光合作用营养均衡 ：)

可以证明，由于平衡因子的存在，搜索复杂度保持在O(log N)。

那么我们首先可以直观地写出如下两个函数，getHeight和getBalance

int getHeight(结点)

{

        return 结点的height;

}

int getBalance(左子树, 右子树)  

{

        return getHeight(左子树) - getHeight(右子树);  //这个的绝对值后面要用来与1比大小

}

好了，那么我们的结点就很直观知道需要至少有这些结构成员：结点存放的数据值，结点的高度，结点所指的左子树，结点所指的右子树。

typedef struct node{

        int value;

        int height;

        struct node*left;  //左右子树用结构指针，递归定义左右子树的结点也有着同样的结构成员

        struct node*right;

}node;

以上是C语言版本，若C++可以简化为以下：

struct node{

        int value;

        int height;

        node*left;

        node*right;

};

有了树的结构，那么我们来建立第一棵树，假设在树中存入的数据值value：

node*newNode(int value){

        node*nNode = (node*)malloc(sizeof(node));  // 若C++赋值右边改为 = new node

        nNode->value = value;

        nNode->height = 1;

        nNode->left = nNode->right = NULL;  

        return nNode;

}

这样我们可以把最开始定义的getHeight和getBalance更新为

int getHeight(node*node){

        if(node==NULL) return 0;

        else return node->height;

}

int getBalance(node*node){

        return getHeight(node->left) - getHeight(node->right);

}

而树是会不断长高的（数据不断插入）那么我们也需要定义一个更新树高的函数，树高=从根结点root的左子树或右子树比较，取高的getHeight，然后加上根结点那段高度+1

int max(int a, int b){   //若C++可调用max不须写这个

        return (a>b)?a:b;

}

int getUpdateHeight(node*node){

        return 1+max(getHeight(node->left), getHeight(node->right));

}

那么，以上部分就是AVL的整体框架，接下来是针对它特化操作而准备的。为了保持平衡，在数据插入时很直观地可想到，如果每次直接从子树添加，会破坏本身平衡，也就是说，在数据插入时，结点之间的移位rotate是免不了的。

可以总结出来，在如一“撇”“丿"的形状下(即根-左子树L-左子树L)插入新数据，要保持或还原为 ” ^ "的形状，必须将上端往右下方弯折rightRotate。

同理，如一“捺” “\”的形状下(即根-右子树R-右子树R)插入新数据，要保持或还原为 ” ^ "的形状，必须将上端往左下方弯折leftRotate。

由此，我们可以写出LL型对应的rightRotate右旋；RR型对应的leftRotate左旋函数；

node* rightRotate(node*root){

        node*newRoot = root->left;  /* 原root的左子树担任新root，准备把原root弯下来作为新root的右子树，但是如果新root本身已经有右子树冲突怎么办（园艺上是重叠枝）要把它剪下来嫁接到原root做左子树（高度低了一层）如果有人说那原root如果也有左子树冲突了怎么办，没错原root肯定有左子树，但仔细发现已经不在了，在哪里？*/

        root->left = newRoot->right; // 如newRoot无右子树即NULL也是可以的

        newRoot->right = root;

        root->height = getUpdateHeight(root);  // 换位置后更新高度

        newRoot->height = getUpdateHeight(newRoot);

        return newRoot;

}

对应地，我们可以写出左旋

node* leftRotate(node*root){

        node*newRoot = root->right;

        root->right = newRoot->left;

        newRoot->left = root;

        root->height = getUpdateHeight(root);

        newRoot->height = getUpdateHeight(newRoot);

        return newRoot;

}

有了以上对数据的操作，接下来，就是综合起来做数据的插入