算法设计与分析第三章作业

1. 请写出以下题目的动态规划方程

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程：

（1）状态表示：s[i]表示第i对石子的重量；dp[i][j]表示合并第i堆到第j堆石子的最小代价；

（2）状态方程：dp[i][j] = min {dp[i][j-2] + s[j-1] + s[j], dp[i+2] + s[i] + s[i+1]},  j-i > 1;

                                      = s[i] + s[j], j-i = 1;

（3）边界条件：j - i = 1;

（4）时间、空间复杂度分析：O(n^2)

2. 结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

动态规划算法也是不断地拆分问题，但是这里和之前的递归又有所不同，因为动态规划类的问题中，分解得到的子问题一般不会是相互独立的，也就是说有可能得到相同的子问题，所以在计算中，如果单单应用了递归，有些子问题就会被重复计算。

因此，适合使用动态规划来解决的问题一般都有下面两个性质：

1. 最优子结构性质

一个问题的最优解包含了其子问题的最优解。

2. 重叠子问题性质

在问题的求解过程中，很多子问题的解会被多次使用。
 

在进行习题练习的过程中，我们大致按照如下四个步骤：

一、问题结构分析（找出最优解的性质，并刻画其结构特征）：

1.给出问题表示；2.明确原始问题；

二、递推关系建立：分析最优子结构，递归地定义最优值；

三、自底向上计算最优值：

1.初始化（依据边界条件）；2.递推公式（依据递推公式完成填表过程）；

四、最优方案追踪（根据计算按最有值时得到的信息构造最优解）：

记录决策过程（完成备忘录表格以协助后面的计算）。