算法设计与分析第三章作业

1. 请写出以下题目的动态规划方程

设有 N堆石子排成一排,其编号为 1,2,3,…,N。
每堆石子有一定的质量,可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量,sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆,合并的代价为这两堆石子的质量之和,合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻,合并时由于选择的顺序不同,合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2, 我们可以先合并 1、2 堆,代价为 4,得到 4 5 2, 又合并 1,2 堆,代价为 9,得到 9 2 ,再合并得到 11,总代价为 4+9+11=24;
如果第二步是先合并 2,3 堆,则代价为 7,得到 4 7,最后一次合并代价为 11,总代价为4+7+11=22。
问题是:找出一种合理的方法,使总的代价最小,输出最小代价。

请按照如下格式书写动态规划方程:

(1)状态表示:s[i]表示第i对石子的重量;dp[i][j]表示合并第i堆到第j堆石子的最小代价;

(2)状态方程:dp[i][j] = min {dp[i][j-2] + s[j-1] + s[j], dp[i+2] + s[i] + s[i+1]},  j-i > 1;

                                      = s[i] + s[j], j-i = 1;

(3)边界条件:j - i = 1;

(4)时间、空间复杂度分析:O(n^2)

2. 结合本章的学习,总结你对动态规划法的体会和思考

动态规划算法也是不断地拆分问题,但是这里和之前的递归又有所不同,因为动态规划类的问题中,分解得到的子问题一般不会是相互独立的,也就是说有可能得到相同的子问题,所以在计算中,如果单单应用了递归,有些子问题就会被重复计算。

因此,适合使用动态规划来解决的问题一般都有下面两个性质:

1. 最优子结构性质

一个问题的最优解包含了其子问题的最优解。

2. 重叠子问题性质

在问题的求解过程中,很多子问题的解会被多次使用。
 

在进行习题练习的过程中,我们大致按照如下四个步骤:

一、问题结构分析(找出最优解的性质,并刻画其结构特征):

1.给出问题表示;2.明确原始问题;

二、递推关系建立:分析最优子结构,递归地定义最优值;

三、自底向上计算最优值:

1.初始化(依据边界条件);2.递推公式(依据递推公式完成填表过程);

四、最优方案追踪(根据计算按最有值时得到的信息构造最优解):

记录决策过程(完成备忘录表格以协助后面的计算)。

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