高中奥数 2021-10-01

2021-10-01-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文圆幂与根轴 P055 习题13）

已知非等腰锐角,、是它的两条高,又线段与平行于的中位线相交于点.证明:经过的外心和垂心的直线与直线垂直.

证明

如图,在中,分别将边、的中点记作、,将三角形的垂心记作,外心记作.

图1

因为点、、、位于同一圆周上(为其直径),所以,.

故点、、、位于同一圆周上.

将以为直径的圆周记作,将以直径的圆周记作.

易知,点、位于圆周上,而点、位于圆周上.

因此,点关于圆和圆有相同的幂,关于圆和圆也有相同的幂.

从而,点关于圆和圆有相同的幂,即位于它们的根轴之上.

所以,直线就是圆和圆的根轴.

故垂直于这两个圆的圆心连线.

又圆和圆的圆心分别为线段和的中点,它们的连线平行于直线,则.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文圆幂与根轴 P055 习题14）

中,、、分别是、、所对的旁切圆,、是的内心、重心,求证、、的根心在上.

证明

作,,垂足分别、.

图2

熟知,取中点,则.

所以在、根轴上.

熟知、、共线且.

延长至使,则.

从而,则.

又,所以,故为、的根轴,在根轴上.

同理在与、与的根轴上.

故为三圆的根心,且在上,得证.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文圆幂与根轴 P055 习题15）

、为切线,为一条割线,为中点,为一动点,满足、、三点共线,为以点为圆心,为半径的圆.证明:点在外接圆与的根轴上.

证明

作,其延长线交延长线于,再过作,则为的中点,且.

图3

因为.

所以、、、、五点共圆.

则.

故、、、四点共圆.

点对外接圆的幂为:.

因为 $PA^{2}-AO^{2}=\left(AM^{2}+MP^{2}\right)-\left(AM^{2}+MO^{2}\right)=MP^{2}-MO2PD^{2}-OD^{2}=\left(DM^{2}+MP^{2}\right)-\left(DM^{2}+MO^{2}\right)=MP^{2}-MO^{2}.所以PA^{2}-AO^{2}=PD^{2}-DO^{2};→PA^{2}-PD^{2}=AO^{2}-DO^{2}$ (1).

而对的幂有:.

从而对的幂为: $C P^{2}-P D^{2} \stackrel{\text { 由(1) }}{=} C P^{2}-\left[A P^{2}-\left(A O^{2}-D O^{2}\right)\right]=C P^{2}-AP^{2}+AD\cdot AE=CP^{2}-AP^{2}+AC^{2}=\left(CR^{2}+RP^{2}\right)-\left(AR^{2}+RP^{2}\right)+AC^{2}=CR^{2}-\left(AC+CR\right)^{2}+AC^{2}=-2CA\cdot CR$ .

所以点对的幂等于到外接圆的幂.

故由根轴定理知,点在上述两圆根轴上.

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