SVM算法

研究背景

支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是一种非常流行的分类和回归算法,它利用核函数将数据映射到高维空间,在该空间中寻找最优的超平面来进行分类或回归预测。自从SVM算法被提出以来,它在模式识别、图像处理、自然语言处理等领域得到了广泛的应用和研究。

以下是一些关于SVM算法的经典论文:

Vapnik, V. N. (1995). The nature of statistical learning theory. Springer.
这是SVM算法最早的论文之一,提出了SVM的理论基础和算法,并讨论了SVM在分类问题中的应用。

Cortes, C., & Vapnik, V. (1995). Support-vector networks. Machine learning, 20(3), 273-297.
这篇论文详细介绍了支持向量机算法的实现和应用,并比较了SVM和其他分类算法的性能。

Chang, C. C., & Lin, C. J. (2011). LIBSVM: A library for support vector machines. ACM Transactions on Intelligent Systems and Technology (TIST), 2(3), 27.
这篇论文介绍了一个非常流行的SVM软件库LIBSVM,该库提供了高效的SVM实现,并包括了许多常用的核函数和参数选择方法。

Schölkopf, B., & Smola, A. (2002). Learning with kernels: Support vector machines, regularization, optimization, and beyond. MIT press.
这是一本关于支持向量机和核方法的经典教材,详细讨论了SVM的理论和应用,以及其他相关的机器学习算法和技术。

Suykens, J. A., & Vandewalle, J. (1999). Least squares support vector machine classifiers. Neural processing letters, 9(3), 293-300.
这篇论文提出了一种基于最小二乘的支持向量机算法,可以用于解决线性和非线性分类问题。

原理说明

SVM(支持向量机)是一种用于分类和回归分析的机器学习算法。它基于构建一个最优的超平面,可以将不同类别的数据分隔开来,从而实现分类。

具体来说,SVM的算法原理如下:

寻找最优的超平面:在给定的训练数据中,SVM算法会寻找一个最优的超平面,使得将数据分为两个类别的间隔最大化。

核函数的应用:对于非线性分类问题,SVM采用核函数将数据映射到高维空间中,使得在该空间中可以使用线性超平面分割数据。

求解优化问题:SVM通过求解一个凸二次规划问题来确定最优的超平面。该问题的目标是找到一个最小的误分类率,并最大化分类边界的间隔。

支持向量的确定:在确定最优的超平面后,SVM算法将寻找支持向量,即离最优超平面最近的训练数据点。这些数据点在分类过程中起到了关键的作用。

分类器的构建:基于最优的超平面和支持向量,SVM可以构建一个分类器,用于对新的数据进行分类。

总体来说,SVM是一种强大的分类器,可以处理线性和非线性分类问题。它的核心思想是最大化分类边界的间隔,并利用支持向量来确定最优的超平面,从而实现高效的分类。

公式推导

SVM算法是一种基于优化理论的分类算法,其推导需要一定的数学基础和优化理论知识。以下是SVM算法的公式推导过程:

首先,假设我们有一组训练数据 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x n , y n ) {(x_1,y_1), (x_2,y_2),..., (x_n,y_n)} (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn),其中 x i x_i xi 是一个 m m m 维向量, y i y_i yi 是一个二元标签,即 y i ∈ − 1 , + 1 y_i\in{-1,+1} yi1,+1,表示样本属于哪一类。

接下来,我们需要构建一个最优的分类超平面,将不同类别的样本分开。假设这个超平面可以用如下线性方程表示:

w T x + b = 0 w^Tx+b=0 wTx+b=0

其中, w w w 是超平面的法向量, b b b 是偏置项。

为了方便,我们可以假设 w w w 的长度为1,即 ∣ w ∣ = 1 |w|=1 w=1

那么,对于任意一个数据点 x i x_i xi,它到超平面的距离可以表示为:

y i ( w T x i + b ) ∣ w ∣ = y i ( w T x i + b ) 1 = y i ( w T x i + b ) \frac{y_i(w^Tx_i+b)}{|w|}=\frac{y_i(w^Tx_i+b)}{1}=y_i(w^Tx_i+b) wyi(wTxi+b)=1yi(wTxi+b)=yi(wTxi+b)

我们的目标是找到一个最优的超平面,使得所有数据点到该超平面的距离最大化。因此,我们可以将该问题转化为以下最大化问题:

max ⁡ w , b min ⁡ i = 1 , 2 , . . . , n y i ( w T x i + b ) \max_{w,b}\min_{i=1,2,...,n}{y_i(w^Tx_i+b)} w,bmaxi=1,2,...,nminyi(wTxi+b)

其中, w w w b b b 是需要求解的参数。

该问题的解可以通过拉格朗日对偶性来求解。首先,我们可以将上述问题转化为如下的拉格朗日函数:

L ( w , b , α ) = 1 2 ∣ w ∣ 2 − ∑ i = 1 n α i [ y i ( w T x i + b ) − 1 ] L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2}|w|^2-\sum_{i=1}^n\alpha_i[y_i(w^Tx_i+b)-1] L(w,b,α)=21w2i=1nαi[yi(wTxi+b)1]

其中, α i \alpha_i αi 是拉格朗日乘子。然后,我们可以求解其对偶问题:

min ⁡ α 1 2 ∑ i , j = 1 n α i α j y i y j x i T x j − ∑ i = 1 n α i y i + ∑ i = 1 n α i \min_{\alpha}\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j-\sum_{i=1}^n\alpha_iy_i+\sum_{i=1}^n\alpha_i αmin21i,j=1nαiαjyiyjxiTxji=1nαiyi+i=1nαi

其中, α \alpha α 是需要求解的拉格朗日乘子向量。

通过求解上述对偶问题,我们可以得到最优的 α \alpha α,然后可以通过如下公式求解 w w w b b b

w = ∑ i = 1 n α i y i x i w=\sum_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i w=i=1nαiyixi

b = y k − ∑ i = 1 n α i y i x i T x k b=y_k-\sum_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i^Tx_k b=yki=1nαiyixiTxk

其中, k k k 是一个支持向量点,即对于 α k > 0 \alpha_k>0 αk>0,有 y k ( w T x k + b ) = 1 y_k(w^Tx_k+b)=1 yk(wTxk+b)=1

最后,我们可以将上述公式代入分类超平面的方程中,得到最终的分类器

最终的分类器可以表示为:

f ( x ) = sign ⁡ ( w T x + b ) = sign ⁡ ( ∑ i = 1 n α i y i x i T x + b ) f(x)=\operatorname{sign}(w^Tx+b)=\operatorname{sign}\left(\sum_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i^Tx+b\right) f(x)=sign(wTx+b)=sign(i=1nαiyixiTx+b)

其中, sign ⁡ \operatorname{sign} sign 是符号函数,如果参数大于等于0则返回1,否则返回-1。

需要注意的是,在实际应用中,我们可能会遇到非线性可分的情况,此时可以通过核函数将数据映射到高维空间,使得数据在该空间中线性可分。这时,SVM算法的公式推导与线性可分的情况相似,只是需要在计算内积时使用核函数,即将 x i T x j x_i^Tx_j xiTxj 替换为 κ ( x i , x j ) \kappa(x_i,x_j) κ(xi,xj),其中 κ \kappa κ 是一个核函数。

以上就是SVM算法的公式推导过程,通过最大化支持向量到分类超平面的距离,SVM算法可以在高维空间中寻找最优的分类超平面,从而实现对数据的分类。

代码示意

import numpy as np

class SVM:
    def __init__(self, C=1.0, kernel='linear', degree=3, gamma='auto'):
        self.C = C
        self.kernel = kernel
        self.degree = degree
        self.gamma = gamma
        self.alpha = None
        self.b = None
        self.X = None
        self.y = None

    def fit(self, X, y):
        self.X = X
        self.y = y

        # Compute the kernel matrix
        K = self._compute_kernel(X, X)

        # Set up the optimization problem
        n_samples = X.shape[0]
        P = K * np.outer(y, y)
        q = -np.ones(n_samples)
        G = np.vstack((np.diag(-np.ones(n_samples)), np.diag(np.ones(n_samples))))
        h = np.hstack((np.zeros(n_samples), self.C * np.ones(n_samples)))
        A = y.reshape(1, -1)
        b = np.zeros(1)

        # Solve the optimization problem
        from cvxopt import matrix, solvers
        solvers.options['show_progress'] = False
        alpha = np.ravel(matrix(solvers.qp(matrix(P), matrix(q), matrix(G), matrix(h), matrix(A), matrix(b))['x']))
        self.alpha = alpha

        # Calculate the intercept
        sv = self.alpha > 1e-5
        ind = np.arange(len(self.alpha))[sv]
        self.b = 0
        for i in ind:
            self.b += y[i]
            self.b -= np.sum(self.alpha * y * K[:, i])
        self.b /= len(ind)

    def predict(self, X):
        # Compute the kernel matrix between the test data and the training data
        K = self._compute_kernel(X, self.X)

        # Make predictions using the kernel matrix and the support vectors
        y_pred = np.dot(K.T, self.alpha * self.y) + self.b
        y_pred = np.sign(y_pred)

        return y_pred

    def _compute_kernel(self, X1, X2):
        if self.kernel == 'linear':
            K = np.dot(X1, X2.T)
        elif self.kernel == 'poly':
            K = (np.dot(X1, X2.T) + 1) ** self.degree
        elif self.kernel == 'rbf':
            if self.gamma == 'auto':
                gamma = 1.0 / X1.shape[1]
            else:
                gamma = self.gamma
           

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