SVM算法
研究背景
支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是一种非常流行的分类和回归算法，它利用核函数将数据映射到高维空间，在该空间中寻找最优的超平面来进行分类或回归预测。自从SVM算法被提出以来，它在模式识别、图像处理、自然语言处理等领域得到了广泛的应用和研究。
以下是一些关于SVM算法的经典论文：
Vapnik, V. N. (1995). The nature of statistical learning theory. Springer.
这是SVM算法最早的论文之一，提出了SVM的理论基础和算法，并讨论了SVM在分类问题中的应用。
Cortes, C., & Vapnik, V. (1995). Support-vector networks. Machine learning, 20(3), 273-297.
这篇论文详细介绍了支持向量机算法的实现和应用，并比较了SVM和其他分类算法的性能。
Chang, C. C., & Lin, C. J. (2011). LIBSVM: A library for support vector machines. ACM Transactions on Intelligent Systems and Technology (TIST), 2(3), 27.
这篇论文介绍了一个非常流行的SVM软件库LIBSVM，该库提供了高效的SVM实现，并包括了许多常用的核函数和参数选择方法。
Schölkopf, B., & Smola, A. (2002). Learning with kernels: Support vector machines, regularization, optimization, and beyond. MIT press.
这是一本关于支持向量机和核方法的经典教材，详细讨论了SVM的理论和应用，以及其他相关的机器学习算法和技术。
Suykens, J. A., & Vandewalle, J. (1999). Least squares support vector machine classifiers. Neural processing letters, 9(3), 293-300.
这篇论文提出了一种基于最小二乘的支持向量机算法，可以用于解决线性和非线性分类问题。
原理说明
SVM（支持向量机）是一种用于分类和回归分析的机器学习算法。它基于构建一个最优的超平面，可以将不同类别的数据分隔开来，从而实现分类。
具体来说，SVM的算法原理如下：
寻找最优的超平面：在给定的训练数据中，SVM算法会寻找一个最优的超平面，使得将数据分为两个类别的间隔最大化。
核函数的应用：对于非线性分类问题，SVM采用核函数将数据映射到高维空间中，使得在该空间中可以使用线性超平面分割数据。
求解优化问题：SVM通过求解一个凸二次规划问题来确定最优的超平面。该问题的目标是找到一个最小的误分类率，并最大化分类边界的间隔。
支持向量的确定：在确定最优的超平面后，SVM算法将寻找支持向量，即离最优超平面最近的训练数据点。这些数据点在分类过程中起到了关键的作用。
分类器的构建：基于最优的超平面和支持向量，SVM可以构建一个分类器，用于对新的数据进行分类。
总体来说，SVM是一种强大的分类器，可以处理线性和非线性分类问题。它的核心思想是最大化分类边界的间隔，并利用支持向量来确定最优的超平面，从而实现高效的分类。
公式推导
SVM算法是一种基于优化理论的分类算法，其推导需要一定的数学基础和优化理论知识。以下是SVM算法的公式推导过程：
首先，假设我们有一组训练数据 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x n , y n ) {(x_1,y_1), (x_2,y_2),..., (x_n,y_n)} (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，其中 x i x_i xi 是一个 m m m 维向量， y i y_i yi 是一个二元标签，即 y i ∈ − 1 , + 1 y_i\in{-1,+1} yi∈−1,+1，表示样本属于哪一类。
接下来，我们需要构建一个最优的分类超平面，将不同类别的样本分开。假设这个超平面可以用如下线性方程表示：
w T x + b = 0 w^Tx+b=0 wTx+b=0
其中， w w w 是超平面的法向量， b b b 是偏置项。
为了方便，我们可以假设 w w w 的长度为1，即 ∣ w ∣ = 1 |w|=1 ∣w∣=1。
那么，对于任意一个数据点 x i x_i xi，它到超平面的距离可以表示为：
y i ( w T x i + b ) ∣ w ∣ = y i ( w T x i + b ) 1 = y i ( w T x i + b ) \frac{y_i(w^Tx_i+b)}{|w|}=\frac{y_i(w^Tx_i+b)}{1}=y_i(w^Tx_i+b) ∣w∣yi(wTxi+b)=1yi(wTxi+b)=yi(wTxi+b)
我们的目标是找到一个最优的超平面，使得所有数据点到该超平面的距离最大化。因此，我们可以将该问题转化为以下最大化问题：
max w , b min i = 1 , 2 , . . . , n y i ( w T x i + b ) \max_{w,b}\min_{i=1,2,...,n}{y_i(w^Tx_i+b)} w,bmaxi=1,2,...,nminyi(wTxi+b)
其中， w w w 和 b b b 是需要求解的参数。
该问题的解可以通过拉格朗日对偶性来求解。首先，我们可以将上述问题转化为如下的拉格朗日函数：
L ( w , b , α ) = 1 2 ∣ w ∣ 2 − ∑ i = 1 n α i [ y i ( w T x i + b ) − 1 ] L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2}|w|^2-\sum_{i=1}^n\alpha_i[y_i(w^Tx_i+b)-1] L(w,b,α)=21∣w∣2−i=1∑nαi[yi(wTxi+b)−1]
其中， α i \alpha_i αi 是拉格朗日乘子。然后，我们可以求解其对偶问题：
min α 1 2 ∑ i , j = 1 n α i α j y i y j x i T x j − ∑ i = 1 n α i y i + ∑ i = 1 n α i \min_{\alpha}\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j-\sum_{i=1}^n\alpha_iy_i+\sum_{i=1}^n\alpha_i αmin21i,j=1∑nαiαjyiyjxiTxj−i=1∑nαiyi+i=1∑nαi
其中， α \alpha α 是需要求解的拉格朗日乘子向量。
通过求解上述对偶问题，我们可以得到最优的 α \alpha α，然后可以通过如下公式求解 w w w 和 b b b：
w = ∑ i = 1 n α i y i x i w=\sum_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i w=i=1∑nαiyixi
b = y k − ∑ i = 1 n α i y i x i T x k b=y_k-\sum_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i^Tx_k b=yk−i=1∑nαiyixiTxk
其中， k k k 是一个支持向量点，即对于 α k > 0 \alpha_k>0 αk>0，有 y k ( w T x k + b ) = 1 y_k(w^Tx_k+b)=1 yk(wTxk+b)=1。
最后，我们可以将上述公式代入分类超平面的方程中，得到最终的分类器
最终的分类器可以表示为：
f ( x ) = sign ( w T x + b ) = sign ( ∑ i = 1 n α i y i x i T x + b ) f(x)=\operatorname{sign}(w^Tx+b)=\operatorname{sign}\left(\sum_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i^Tx+b\right) f(x)=sign(wTx+b)=sign(i=1∑nαiyixiTx+b)
其中， sign \operatorname{sign} sign 是符号函数，如果参数大于等于0则返回1，否则返回-1。
需要注意的是，在实际应用中，我们可能会遇到非线性可分的情况，此时可以通过核函数将数据映射到高维空间，使得数据在该空间中线性可分。这时，SVM算法的公式推导与线性可分的情况相似，只是需要在计算内积时使用核函数，即将 x i T x j x_i^Tx_j xiTxj 替换为 κ ( x i , x j ) \kappa(x_i,x_j) κ(xi,xj)，其中 κ \kappa κ 是一个核函数。
以上就是SVM算法的公式推导过程，通过最大化支持向量到分类超平面的距离，SVM算法可以在高维空间中寻找最优的分类超平面，从而实现对数据的分类。
代码示意
import numpy as np
class SVM:
def __init__(self, C=1.0, kernel='linear', degree=3, gamma='auto'):
self.C = C
self.kernel = kernel
self.degree = degree
self.gamma = gamma
self.alpha = None
self.b = None
self.X = None
self.y = None
def fit(self, X, y):
self.X = X
self.y = y
# Compute the kernel matrix
K = self._compute_kernel(X, X)
# Set up the optimization problem
n_samples = X.shape[0]
P = K * np.outer(y, y)
q = -np.ones(n_samples)
G = np.vstack((np.diag(-np.ones(n_samples)), np.diag(np.ones(n_samples))))
h = np.hstack((np.zeros(n_samples), self.C * np.ones(n_samples)))
A = y.reshape(1, -1)
b = np.zeros(1)
# Solve the optimization problem
from cvxopt import matrix, solvers
solvers.options['show_progress'] = False
alpha = np.ravel(matrix(solvers.qp(matrix(P), matrix(q), matrix(G), matrix(h), matrix(A), matrix(b))['x']))
self.alpha = alpha
# Calculate the intercept
sv = self.alpha > 1e-5
ind = np.arange(len(self.alpha))[sv]
self.b = 0
for i in ind:
self.b += y[i]
self.b -= np.sum(self.alpha * y * K[:, i])
self.b /= len(ind)
def predict(self, X):
# Compute the kernel matrix between the test data and the training data
K = self._compute_kernel(X, self.X)
# Make predictions using the kernel matrix and the support vectors
y_pred = np.dot(K.T, self.alpha * self.y) + self.b
y_pred = np.sign(y_pred)
return y_pred
def _compute_kernel(self, X1, X2):
if self.kernel == 'linear':
K = np.dot(X1, X2.T)
elif self.kernel == 'poly':
K = (np.dot(X1, X2.T) + 1) ** self.degree
elif self.kernel == 'rbf':
if self.gamma == 'auto':
gamma = 1.0 / X1.shape[1]
else:
gamma = self.gamma