代码随想录第四十三天 | 0-1背包的应用：让石头分成重量相同的两堆 转化 为 416.分割等和子集（1049）；排列组合问题（背包/回溯 494）；物品重量有两个维度的01背包（474）

1、让石头分成重量相同的两堆 转化 为 416.分割等和子集

1.1 leetcode 1049：最后一块石头的重量II

0-1背包又没有思路，这也没涉及到取得价值最大，而且虽然对一块石头是取与不取，但是主要是关心取的顺序

经过代码随想录提示，其实最终就是要尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了，这两堆的差就是最后留下的最小石头，即按照之前的leetcode 416：分割等和的子集的思路，使尽量靠近sum / 2， 最后使用min(abs(sum - 2*dp[sum / 2]), abs(sum - 2*dp[sum / 2 + 1]));来计算剩下的最小重量的石头

第一遍代码

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < stones.size(); i++) {
            sum += stones[i];
        }
        vector<int> dp(sum + 1, 0);
        for(int i = 0; i < stones.size(); i++) {
            for(int j = sum; j >= stones[i]; j--) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return min(abs(sum - 2*dp[sum / 2]), abs(sum - 2*dp[sum / 2 + 1]));
    }
};

思路
动规五步曲：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背 最大重量 为dp[j]，可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]

相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”

2、确定递推公式
01背包的滚动矩阵的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
根据1的分析很容易得到

3、dp数组如何初始化
既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和
因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000，而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了
当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小（第一遍代码直接整了一个石头总重量+1 的dp数组）

接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖

4、确定遍历顺序
如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历

代码如下：

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}

循环只要从sum / 2开始就行了，不需要从sum开始

5、举例推导dp数组
举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量

那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]
在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的
那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]

个人感觉sum / 2向上取整的也需要考虑，所以第一遍代码最后返回的值是 return min(abs(sum - 2*dp[sum / 2]), abs(sum - 2*dp[sum / 2 + 1]));

代码随想录C++代码如下：

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        vector<int> dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

1.2 leetcode 1049：总结

本题其实和 leetcode 416：分割等和子集 几乎是一样的，只是最后对dp[target]的处理方式不同（即对返回值的处理），leetcode 416：分割等和子集 相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少

2、排列组合问题

2.1 leetcode 494：代码随想录思路 与 自己动规 / 回溯实现

第一遍代码答案错误
0-1背包，1为加法，0为减法，dp[target]为结果为target - sum（为了包含负数）有几种可能

vector<int> dp(2*sum + 1, 0);

[-sum, sum] 一共可能获得的区间为2*sum - 1
因为下标又有加又有减，所以没办法避免重复

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        //0-1背包，1为加法，0为减法，dp[target]为结果为target - sum（为了包含负数）有几种可能
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        vector<int> dp(2*sum + 1, 0);//[-sum, sum]一共可能获得的区间为2*sum - 1
        dp[sum - nums[0]] = 1;
        dp[sum + nums[0]] = 1;
        for(int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = 2*sum; j >= 0; j--) {//因为下标又有加又有减，所以没办法避免重复
                if(j >= nums[i] && j <= 2*sum - nums[i]) {
                    dp[j] = dp[j - nums[i]] + dp[j + nums[i]];
                }
                else if(j >= nums[i]) {
                    dp[j] = dp[j - nums[i]];
                }
                else if(j <= 2*sum - nums[i]) {
                    dp[j] = dp[j + nums[i]];
                }
            }
        }
        return dp[target + sum];
    }
};

代码随想录思路
这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系，本题要如何使表达式结果为target

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target，相当于把 前面放加法 的数字加在一起是left组合，前面放减法 的数字加在一起是right组合，而自然left + right = sum，而所有数字的和sum是固定的，right = sum - left

公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来，此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合，就和 1049.最后一块石头的重量II 在动态规划部分一致，就是0-1背包问题

还有初始化问题，这个初始化不好想，根据思路写第二遍代码：
不能整除就返回0
target超过了和的绝对值也是不行的
注意这个初始化，比较难想，可以想最开始的j = nums[0]的情况，那只有一个，要让dp[j - nums[i]] = 1才行
递归公式是累加，dp[j - nums[i]]加上nums[i]就可以达到j了，所以是累加

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        if((target + sum) % 2 != 0) {//不能整除就返回0
            return 0;
        }
        if(abs(target) > sum) return 0;
        //target超过了和的绝对值也是不行的
        int left = (target + sum) / 2;//目标就是找left
        vector<int> dp(left + 1, 0);//都 >= 0
        dp[0] = 1;//注意这个初始化，比较难想，可以想最开始的j = nums[0]的情况，那只有一个，要让dp[j - nums[i]] = 1才行
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = left; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            //递归公式是累加，dp[j - nums[i]]加上nums[i]就可以达到j了，所以是累加
            }
        }
        return dp[left];
    }
};

还有对于在集合nums中找出 和为left的组合 的问题还可以使用回溯，根据思路写第三遍代码：
先判断等不等，因为curSum已经更新，这个if需要在下一个if之前
回溯一定要先排序，因为有判断curSum + nums[startIndex] > target就退出了

class Solution {
public:
    vector<int> path;
    vector<vector<int>> res;
    void backTracking(vector<int>& nums, int target, int startIndex, int curSum) {
        if(curSum == target) {
            //先判断等不等，因为curSum已经更新，这个if需要在下一个if之前
            res.push_back(path);
        }
        if(startIndex >= nums.size() || curSum + nums[startIndex] > target) {
            return;
        }
        for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            curSum += nums[i];//在这里curSum更新过了
            path.push_back(nums[i]);
            backTracking(nums, target, i + 1, curSum);
            path.pop_back();
            curSum -= nums[i];
        }
    }
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        if((target + sum) % 2 != 0) {
            return 0;
        }
        if(abs(target) > sum) return 0;
        int left = (target + sum) / 2;
        sort(nums.begin(), nums.end());
        //回溯一定要排序，因为有判断curSum + nums[startIndex] > target就退出了
        backTracking(nums, left, 0, 0);
        return res.size();
    }
};

2.2 leetcode 494：代码随想录的实现

2.2.1 回溯算法

这是回溯中的组合总和问题，当然，也可以转变成序列区间选+ 或者 -，使用回溯法，那就是另一个解法

跟第三遍代码在判断条件的位置上有点区别，思路完全一致

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
        }
        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要各位小心数值溢出的问题
        int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和

        // 以下为回溯法代码
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
        backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
        return result.size();
    }
};

2.2.2 动态规划

如何转化为01背包问题呢，假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x
所以我们要求的是 x - (sum - x) = target，x = (target + sum) / 2，此时问题就转化为，装满容量为x（就相当于之前的left，完全一致）的背包，有几种方法

这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量，大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响，这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的，所以：

（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案

同时如果 S的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的

（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案

再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？
因为每个物品（题目中的1）只用一次（核心特征）
这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少，本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了

1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法
下面我都是统一使用一维数组进行讲解， 二维降为一维（滚动数组），其实就是上一层拷贝下来

2、确定递推公式
有 哪些来源可以推出dp[j] 呢？
只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法

例如：dp[j]，j 为5，
已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
dp[j] += dp[j - nums[i]]

3、dp数组如何初始化
从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0（第二遍代码出现困难的地方，因为递归公式的下标是减，所以需要初始化第0项）
这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1
其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少

如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法
所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1
可能有同学想了，那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢
其实 此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零 子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的

dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来

4、确定遍历顺序
对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序

5、举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
dp数组状态变化如下：

代码随想录C++代码如下：

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (S + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
空间复杂度：O(m)，m为背包容量

2.3 leetcode 494：总结

此时 大家应该不禁想起，我们之前讲过的回溯算法：39. 组合总和 是不是应该也可以用dp来做？
是的，如果仅仅是求个数的话，就可以用dp，但回溯算法：39. 组合总和 要求的是把所有组合列出来，还是要使用回溯法爆搜的

本题还是有点难度，大家也可以记住，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：dp[j] += dp[j - nums[i]];

3、物品重量有两个维度的01背包

3.1 leetcode 474：一和零

第一遍代码
使用的动态规划背包存储数组dp[i][j]表示strs最大子集长度，初始值为0
其中最多有i个0，j个1，循环顺序方面外层每次循环一个元素，获取其0，1的数量
然后递归式就把之前的减去其0，1数量的数组元素加一，当然要比大小，判断是不是把那个元素加进去，内层循环还是从大到小避免重复

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        /*
        使用的动态规划背包存储数组dp[i][j]表示strs最大子集长度
        其中最多有i个0，j个1，循环顺序方面外层每次循环一个元素，获取其0，1的数量
        然后递归式就把之前的减去其0，1数量的数组元素加一，当然要比大小，判断是不是把那个元素加进去
        */
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        for(string str : strs) {
            int zNum = 0;
            int oNum = 0;
            for(char c : str) {
                if(c == '0') zNum++;
                else oNum++;
            }
            for(int i = m; i >= zNum; i--) {
                for(int j = n; j >= oNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zNum][j - oNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

代码随想录思路
多重背包是每个物品数量不同的情况。本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包
理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包，但本题其实是01背包问题

只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品

动规五部曲：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]

2、确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1，dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1，然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值
所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）
这就是一个典型的01背包，只不过物品的重量有了两个维度而已

3、dp数组如何初始化
01背包的dp数组初始化为0就可以，因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖

4、确定遍历顺序
01背包一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历，本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n

代码如下：

for (string str : strs) { // 遍历物品
    int oneNum = 0, zeroNum = 0;
    for (char c : str) {
        if (c == '0') zeroNum++;
        else oneNum++;
    }
    for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
        for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
        }
    }
}

那个遍历背包容量的两层for循环先后顺序有没有什么讲究？没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都行

5、举例推导dp数组
以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示：

代码随想录C++代码如下：

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
空间复杂度: O(mn)

3.2 leetcode 474：总结

至此讲解了0-1背包的多种应用

纯0-1背包 是求 给定背包容量 装满背包 的最大价值是多少
416. 分割等和子集 是求 给定背包容量，能不能装满这个背包
1049. 最后一块石头的重量II 是求 给定背包容量，尽可能装，最多能装多少
494. 目标和 是求 给定背包容量，装满背包有多少种方法
本题是求 给定背包容量，装满背包最多有多少个物品