高登数学，线性代数问题的数值解（SciPy第三方库，近似解）

 

目录

3.5.1泰勒级数与数值导数

1.泰勒级数

 2.数值导数

3.5.2数值分析 

1.一重积分

3.5.3 非线性方程（组）数值解 

1.二分法

  2.牛顿迭代法

  3.用SciPy工具库求解非线性方程（方程组）

 4.用fslove求非线性方程的数值解

3.5.4 函数极值点的数值解 

1.一元函数的极值点

2.多元函数的极值点

 3.6.1线性代数问题的符号解

1.矩阵的运算

2.解线性方程

3.特征值与特征向量

 3.6.2 线性代数问题的数值解

 1. 向量和矩阵的运算

 2.齐次线性方程组的数值解

3.非齐次线性方程组的数值解 

 1）唯一解

2）多解形式

3）无解形式

4.特征值与特征向量

 3.6.3求超定性方程组的最小二乘解

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3.5.1泰勒级数与数值导数

1.泰勒级数

sin（x）的泰勒技术的展开式为

,

def fac(n): return (1 if n < 1 else n * fac(n - 1))  # 定义阶乘函数运算


def item(n, x): return (-1) ** n * x ** (2 * n + 1) / fac(2 * n + 1)  # 定义sin(x) 在k=n的函数展开


def mysin(n, x): return (0 if n < 0 else mysin(n - 1, x) + item(n, x))  # 定义多项n阶求和


x = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 101)  # 分段从-2pi到2pi 分为101份
plt.plot(x, np.sin(x), '*-')  # 画出sin(x)的标准图像
str = ['-v', 'H--', '-.']  # 设置三种不同的图像表示  第0个，第1个，第2个
for n in [1, 2, 3]: plt.plot(x, mysin(2 * n - 1, x), str[n - 1])  # 将n=1,2,3带入，得到1，3，5阶泰勒展开式
plt.legend(['sin', 'n=1', 'n=3', 'n=5'])  # 实例
plt.savefig('figure3_16.png', dpi=500)  # 保存png形式图片，像素
plt.show()

 2.数值导数

利用泰勒级数可以给出近似计算函数导数的方法.例如,若f(x)存在一阶导数,则由泰勒级数:

移项并舍弃高阶无穷小，得 

当函数具有更高阶导数时，如利用：

以及：

可得二阶导数的计算公式：

1.甲,乙,丙,丁4个人分别位于起始位置（-200，200），（200，200），（200，-200）以及（-200，-200），处（单位：m）,并且以恒定的速率1m/s行走，在行走过程中，甲始终朝向乙的当前位置：同样，乙朝丙，丙朝丁，丁朝甲，试绘制4人行走的近似轨迹

分析：在运动学中，速度是位移相对于时间的导数，即：

                                                                

因此，在一段很短的时间内,近似的有：

                                                ​​​​​​​        

成立，又由于位移，速度均是矢量，因此在  平面内，又有        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​