二叉树的四种遍历算法

二叉树作为一种重要的数据结构，它的很多算法的思想在很多地方都用到了，比如STL算法模板，里面的优先队列、集合等等都用到了二叉树里面的思想，先从二叉树的遍历开始：

看二叉树长什么样子：

我们可以看到这颗二叉树一共有七个节点

0号节点是根节点

1号节点和2号节点是0号节点的子节点，1号节点为0号节点的左子节点，2号节点为0号节点的右子节点

同时1号节点和2号节点又是3号节点、四号节点和五号节点、6号节点的双亲节点

五号节点和6号节点没有子节点（子树），那么他们被称为‘叶子节点’

这就是一些基本的概念

二叉树的遍历

二叉树常用的遍历方式有：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历四种遍历方式，不同的遍历算法，其思想略有不同，我们来看一下这四种遍历方法主要的算法思想：

1、先序遍历二叉树顺序：根节点 –> 左子树 –> 右子树，即先访问根节点，然后是左子树，最后是右子树。 
上图中二叉树的前序遍历结果为：0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 2 -> 5 -> 6

2、中序遍历二叉树顺序：左子树 –> 根节点 –> 右子树，即先访问左子树，然后是根节点，最后是右子树。 
上图中二叉树的中序遍历结果为：3 -> 1 -> 4 -> 0 -> 5 -> 2 -> 6

3、后续遍历二叉树顺序：左子树 –> 右子树 –> 根节点，即先访问左子树，然后是右子树，最后是根节点。 
上图中二叉树的后序遍历结果为：3 -> 4 -> 1 -> 5 -> 6 -> 2 -> 0

4、层序遍历二叉树顺序：从最顶层的节点开始，从左往右依次遍历，之后转到第二层，继续从左往右遍历，持续循环，直到所有节点都遍历完成 
上图中二叉树的层序遍历结果为：0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6

下面是四种算法的伪代码：

前序遍历：

preOrderParse(int n) {
    if(tree[n] == NULL)
        return ; // 如果这个节点不存在，那么结束 

    cout << tree[n].w ; // 输出当前节点内容     
    preOrderParse(tree[n].leftChild); // 递归输出左子树 
    preOrderParse(tree[n].rightChild); // 递归输出右子树 
}

中序遍历：

inOrderParse(int n) {
    if(tree[n] == NULL)
        return ; // 如果这个节点不存在，那么结束 

    inOrderParse(tree[n].leftChild); // 递归输出左子树 
    cout << tree[n].w ; // 输出当前节点内容 
    inOrderParse(tree[n].rightChild); // 递归输出右子树 
}

后序遍历：

pastOrderParse(int n) {
    if(tree[n] == NULL)
        return ; // 如果这个节点不存在，那么结束 

    pastOrderParse(tree[n].leftChild); // 递归输出左子树 
    pastOrderParse(tree[n].rightChild); // 递归输出右子树 
    cout << tree[n].w ; // 输出当前节点内容     
}

可以看到前三种遍历都是直接通过递归来完成，用递归遍历二叉树简答方便而且好理解，接下来层序遍历就需要动点脑筋了，我们如何将二叉树一层一层的遍历输出？其实在这里我们要借助一种数据结构来完成：队列。 
我们都知道，队列是一种先进先出的数据结构，我们可以先将整颗二叉树的根节点加入队尾，然后循环出队，每次读取对头元素输出并且将队头元素出队，然后将这个输出的元素节点的的左右子树分别依次加入队尾，重复这个循环，知道队列为空的时候结束输出。那么整个二叉树就被我们采用层序遍历的思想输出来了。下面我们看一下上图的二叉树用层序遍历思想的遍历步骤：

对上面的步骤的伪代码实现

while(!que.empty())  {
    int n = que.front(); // 得到队头元素
    que.pop();  // 队头元素出队列 
    // 如果当前节点不为空，那么输出节点的数值，并且在队尾插入左右子节点
    if(tree[n] != NULL) {
        cout << tree[n].w;
        que.push(tree[n].leftChild); 
        que.push(tree[n].rightChild); 
    }
}

这几个遍历算法的最终实现：

/*
 * 二叉树的四种遍历方式，这里没有采用真实的指针去做，
 * 而是采用数组下标去模拟指针，是一种更加方便快速的方法 
 */
#include 
#include  
using namespace std;
const int N = 10010;
const int INF = -1; // 我们用一个常数来表示当前二叉树节点为空的情况 

struct Node {
    int w; // 当前树节点的值 
    int p; // 当前树节点的双亲所在数组下标 
    int l; // 当前树节点的左子节点所在数组下标 
    int r; // 当前树节点的右子节点所在数组下标 
}; 
Node node[N];

// 按照前序遍历二叉树的顺序输入树节点 
void input(int n) {
    cin >> node[n].w;
    if(node[n].w == INF) { // 输入 -1 代表当前节点所在子二叉树停止输入 
        return ;
    }
    node[n].p = n / 2;
    node[n].l = n * 2;
    node[n].r = n * 2 + 1;

    input(n*2);
    input(n*2+1);
}

// 前序遍历二叉树 
void preOrderParse(int n) {
    if(node[n].w == INF) {
        return ;
    }

    cout << node[n].w << " ";
    preOrderParse(node[n].l);
    preOrderParse(node[n].r);
} 

// 中序遍历二叉树 
void inOrderParse(int n) {
    if(node[n].w == INF) {
        return ;
    }

    inOrderParse(n*2);
    cout << node[n].w << " ";
    inOrderParse(n*2+1); 
}

// 后续遍历二叉树 
void postOrderParse(int n) {
    if(node[n].w == INF) {
        return ;
    }

    postOrderParse(n*2);
    postOrderParse(n*2+1); 
    cout << node[n].w << " ";
} 

/* 
 * 层序遍历二叉树，这里采用的是 C++ STL 模板的提供的队列(queue)，
 * 并没有自己去实现一个队列
 */ 
void sequenceParse() {
    queue que;
    int n = 1;
    que.push(1); // 插入根节点所在数组下标 
    while(!que.empty()) {
        n = que.front();
        que.pop(); // 得到队头元素并且将队头元素出队列 
        // 如果当前节点不为空，那么输出该节点，并且将该节点的左右子节点插入队尾 
        if(node[n].w != INF) { 
            cout << node[n].w << " ";
            que.push(node[n].l);
            que.push(node[n].r);
        }
    }
}

int main() {
    cout << "请以前序遍历的顺序输入二叉树，空节点输入 -1 ：" << endl; 
    input(1); // 从下标为 1 开始前序输入二叉树 

    cout << "前序遍历：" << endl; 
    preOrderParse(1); 
    cout << endl << "中序遍历：" << endl;
    inOrderParse(1);
    cout << endl << "后序遍历：" << endl;
    postOrderParse(1); 
    cout << endl << "层序遍历：" << endl;
    sequenceParse();

    return 0;
}