【学习笔记】CF1895G Two Characters, Two Colors

感谢grass8sheep提供的思路。

首先，我们可以用$DP$解决这个问题。

设$f_{i,j}$表示前$i$个数中有$j$个为$1$的位置为红色的最大价值。则转移如下：

• $f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j}+b_i$
• 若$s_i=1$，有转移$f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j-1}+r_i$
• 若$s_i=0$，有转移$f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j}-j+r_i$

初始$f_{0,j}=0$。

考虑差分序列，记作$\{d_i\}$。则$s_i=1$的转移等价于，对于一段连续的满足$<r_i-b_i$的区间，将$d_i$向后依次挪动一位，然后在开头插入$r_i-b_i$（记为操作一）。$s_i=2$则等价于，对于$[1,r_i-b_i]$这段前缀的$d_i$减去$1$（记为操作二）。注意如果$r_i-b_i<0$那么一定是贪心的选择$b_i$。

但是打表可以发现，答案不是凸的，也就是说$d_i$不具有单调性。事实上有一个结论：每次结束后，将$d_i$按从大到小排序，这并不会影响答案。因此用平衡树维护即可，操作一对应区间平移；操作二对应前缀减$1$，然后将差值为一的两个连续段交换。

复杂度$O(n\log n)$。

关于结论的证明：设$d{p}_j$表示考虑完前$i$个数后选了$j$个$1$的最大价值，$d{p}_j=a$，$d{p}_{j+1}=a+b$，$d{p}_{j+2}=a+2b+1$。设之后的方案中选了$x$个$0$，那么我们要让$d{p}_i-ix$最大。发现交换了$d_{j+1}$和$d_{j+2}$后$j+1$仍然不可能成为答案。（考虑是一条直线来截每个点使得截矩最大，因为斜率是整数，而相邻两点间斜率之差又不超过$1$，因此不可能截到中间那个点）

因为每次操作是前缀减$1$，所以交换的两个段之差不会超过$1$，因此结论是正确的。

$\text{remark}$ 注意到$DP$只要不漏就好了，因此在不影响正确性的情况下我们可以修正$DP$值。

类似的$DP$思路：[USACO21DEC] Paired Up P（做法不一样，但是都有对$DP$最优性的一些思考）

#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N=4e5+5;
int T,n,tot,rt;
ll r[N],b[N];
string str;
mt19937 gen(time(0));
struct node{
    int fix,l,r,sz;
    ll tag,val;
}t[N];
void pushup(int p){
    t[p].sz=t[t[p].l].sz+t[t[p].r].sz+1;
}
int newnode(ll val){
    tot++;
    t[tot].fix=gen(),t[tot].l=t[tot].r=t[tot].tag=0,t[tot].sz=1,t[tot].val=val;
    return tot;
}
void add(int p,ll x){
    if(!p)return;
    t[p].val+=x,t[p].tag+=x;
}
void pushdown(int p){
    if(t[p].tag)add(t[p].l,t[p].tag),add(t[p].r,t[p].tag),t[p].tag=0;
}
int merge(int x,int y){
    if(!x||!y)return x+y;
    if(t[x].fix>t[y].fix){
        pushdown(x);
        t[x].r=merge(t[x].r,y);
        pushup(x);
        return x;
    }
    else{
        pushdown(y);
        t[y].l=merge(x,t[y].l);
        pushup(y);
        return y;
    }
}
void split0(int rt,int &x,int &y,ll val){
    if(!rt){
        x=y=0;
        return;
    }
    pushdown(rt);
    if(t[rt].val>=val){
        x=rt;
        split0(t[x].r,t[x].r,y,val);
        pushup(x);
    }
    else{
        y=rt;
        split0(t[y].l,x,t[y].l,val);
        pushup(y);
    }
}
void split1(int rt,int &x,int &y,int val){
    if(!rt){
        x=y=0;
        return;
    }
    pushdown(rt);
    if(t[t[rt].l].sz+1<=val){
        x=rt;
        split1(t[x].r,t[x].r,y,val-t[t[rt].l].sz-1);
        pushup(x);
    }
    else{
        y=rt;
        split1(t[y].l,x,t[y].l,val);
        pushup(y);
    }
}
int rs(int x){
    while(t[x].r)x=t[x].r;
    return x;
}
int ls(int x){
    while(t[x].l)x=t[x].l;
    return x;
}
int cnt;
ll c[N];
void dfs(int x){
    pushdown(x);
    if(t[x].l)dfs(t[x].l);
    c[++cnt]=t[x].val;
    if(t[x].r)dfs(t[x].r);
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>str;
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>r[i];
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];
        rt=tot=0;ll sm=0;int c1=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(r[i]<=b[i]){
                sm+=b[i];
                continue;
            }
            else if(str[i-1]=='1'){
                c1++,sm+=b[i];
                int x,y;
                split0(rt,x,y,r[i]-b[i]);
                rt=merge(x,merge(newnode(r[i]-b[i]),y));
            }
            else{
                sm+=r[i];
                int x,y;
                split1(rt,x,y,min(1ll*c1,r[i]-b[i]));
                if(!x||!y){
                    add(x,-1);
                    rt=x+y;
                }
                else{
                    int _x=rs(x),_y=ls(y);
                    if(t[_x].val==t[_y].val){
                        ll val=t[_x].val;
                        int a,b,c,d;
                        split0(x,a,b,val+1);
                        split0(y,c,d,val);
                        add(a,-1),add(b,-1);
                        rt=merge(merge(a,c),merge(b,d));
                    }
                    else{
                        add(x,-1);
                        rt=merge(x,y);
                    }
                }
            }
        }
        cnt=0,dfs(rt);
        ll res=sm;
        for(int i=1;i<=c1;i++){
            sm+=c[i],res=max(res,sm);
        }
        cout<<res<<"\n";
    }
}