玻色量子“揭秘”之最大割（Max-Cut）问题与QUBO建模

Max-Cut问题简单地说，就是求一种分割方法。给定一张无向图, 将所有顶点分割成两群, 同时使得被切断的边数量最大，或边的权重最大。

QUBO（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）问题即二次无约束二值优化问题，将一个传统问题转为QUBO问题建模需要重点关注三部分：

①把建模对象中的变量映射为binary（0/1或者-1/+1）的变量；

②原模型的约束条件需要“处理”到目标函数中，成为无约束问题；

③模型变量的最高次不超过二次。

我们先从简单的问题开始说明，让大家有些直观感受。Max-Cut问题就是一个非常简单，并容易理解的例子。同时Max-Cut问题无需复杂的操作，其模型本身就是QUBO问题。

最大割问题是一类NP难问题，它在计算机科学和组合优化领域中有着广泛的应用。在量子计算领域，最大割问题是一个非常重要的Benchmark，因为它是量子计算机中最具代表性的NP难问题之一，也是许多量子算法的基础。同时，最大割问题在实际应用中有着广泛的应用，如社交网络分析、电路设计、图像分割等领域。因此，通过研究量子算法解决最大割问题，可以为这些领域提供更高效的解决方案。

在量子计算行业中，不同公司往往将Max-Cut问题作为基础案例进行测试，用于算力的对比测试，而经典计算中的很多代表性企业等都曾使用Max-Cut来做新品算力的标定。如英伟达公司使用 896 个 GPU 模拟 1688 个量子比特，能够处理包含高达 3375 个顶点的图最大割问题，Quantinuum 研究团队通过在20量子比特的Quantinuum H1-1量子处理器上进行实验，可解决80个顶点的最大割问题。

2023年5月16日，北京玻色量子科技有限公司（以下简称“玻色量子”）的CTO魏海博士在首场新品发布会现场，就提出了Max-Cut是实用量子计算的“算力标准”。

Max-Cut问题是实用量子计算的“算力标准”  

魏海博士提到，在实际问题求解中，玻色量子自研的相干光量子计算机真机——“天工量子大脑”，适用于高效求解组合优化问题，其中最具代表性的21个NP-Complete模型（简称“NPC”）在我们的生活中无处不在。这些问题之间可以互相归约转化，技术中经常用Max-Cut问题来做统一的数学表达，表征计算复杂度。因此，为了标定量子计算的算力优势，我们采用在经典计算中和量子计算中都通用的Max-Cut问题来作为实用量子计算的“算力标准”。

那么，为了更清楚的理解最大割问题，并彻底揭开它的“神秘面纱”，下面将通过案例对该问题在模型层面进行全面解读。

问题描述

最大割问题是NP完备问题。给定一张图, 求一种分割方法, 将所有顶点分割成两群, 同时使得被切断的边数量最大，或边的权重最大。

由于二元变量存在（0/1或者-1/+1）表达形式的区别，常见模型有两种建模思路，在这里分别进行说明。

建模思路一

在无向图G（V,E）中，V为网络的顶点集合，E为网络的边集，其中点i,j∈V，（i,j）∈E，wij为顶点i,j间的边的邻接矩阵，有连边关系则取1,无连边关系则取0。决策变量σi，σj表示顶点i,j的分类，其可能的取值为{1,-1}，我们将V划分为A、B两类。

则在给定的无向图中，将所有顶点分割成两群的分割方法所对应割取的边的个数为Z，模型表示为:

式（1）即为Max-Cut最大割问题模型，同时其也是QUBO模型。

图1：Max-Cut问题实例

为描述该案例，本文以一个四节点实例说明，如图1所示，通过观察我们发现将1、2分为A类，3、4分为B类的“割”法将得到问题的最优解4，如图2所示，下面我们对这个案例进行分析。

图2：Max-Cut问题“割取”示意

通过连边关系可知

当点1、2为一组，点3、4为一组时，σ1=σ2=1，σ3=σ4=-1。

则式（3）变为

结合式（1）、（2）和（4）可得

图1的最大割数量为4，符合我们的设想。

当然，这个问题还可以简化，细心的朋友发现wij为系数矩阵，并不影响模型的计算，所以模型式（1）可以转换为求解式（6），式（1）与式（6）在解的取值上是等价的。

同时，式（6）也被理解为一种Ising模型的表达方式。

在该建模思路下，式（1）与式（6）均可理解为Max-Cut最大割问题模型，同时其也是QUBO模型。不同的是，式（1）的目标函数可以表示为割去的边的个数，式（6）的目标函数常用于表示为哈密顿量。

建模思路二

思路1中二元变量通过-1/+1表示，同样我们可以通过0/1变量构建模型，我们用变量xi表示顶点i属于A,B中的某一类。

则在给定的无向图中，将所有顶点分割成两群的分割方法所对应割取的边的个数为Z，模型表示为:

在该建模思路下，式（7）为Max-Cut最大割问题模型，同时其也是QUBO模型。式（7）与式（1）的目标函数可以表示为割去的边的个数。

我们可以试着用QUBO的矩阵表达来描述这个案例。

首先，式（7）等价于式（8）

QUBO的矩阵表达式为

其中，线性项决定了矩阵Q的主对角线上的元素，二次项决定了非对角线上的元素。

以图1中的4节点，6条边的案例为例

简化后可得

则Q矩阵表达为

解决这个QUBO模型可以得到x={1,1,0,0}。因此顶点1和2在一个集合中，顶点3和4在另一个集合中，最大切割值为4。

问题拓展

有一个更普遍的问题版本称为加权Max-Cut。在这个问题中，每个边都有一个权重系数，目标函数由最大化边的个数调整为边的总权重之和。

在上述例子中，问题特征直接自然构建了QUBO形式的优化问题。但许多其他问题需要“重铸”来创建所需的QUBO形式。我们将在后面继续介绍其他问题的QUBO建模及其求解。

[参考文献]

[1] GLOVER, FRED, KOCHENBERGER, GARY, DU, YU. Quantum Bridge Analytics I: a tutorial on formulating and using QUBO models[J]. 4OR: Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies,2019,17(4):335-371. DOI:10.1007/s10288-019-00424-y.

[2] 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%89%B2%E9%97%AE%E9%A2%98/22910648?fr=aladdin