算法：为什么redis一定要用跳表来实现有序集合

引入

二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。如果数据存储在链表中，就真的没法用二分查找算法了吗？

实际上，我们只需要对链表稍加改造，就可以支持类似“二分”的查找算法。我们把改造之后的数据结构叫做“跳表”。

调表是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构，可以支持快速的插入、删除、查找操作，写起来也不复杂，甚至可以替代红黑树

Redis 中的有序集合（Sorted Set）就是用跳表来实现的。那 Redis 为什么会选择用跳表来实现有序集合呢？ 为什么不用红黑树呢？红黑树不也可以实现快速的插入、删除和查找操作

如何理解“跳表”

对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据时有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度就会很高，是O(n)

那怎么来提高查找效率呢？如果向下图那样，对链表建议一级“索引”，查找起来是不是就会更快一点呢？每两个节点提取一个节点到上一级，我们把抽出来的那一级叫做索引或者索引层。下图中的down表示down指针，指向下一级节点。

如果我们现在要查找某个节点，比如16，我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为13的节点时，我们发现下一个节点是17，那要查找的节点16肯定就在这两个节点之间。然后我们通过索引层节点的down指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历2个节点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。

从上面可以看出，加了一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。那如果我们再加一级索引呢？效率会不会提升更多呢？

跟前面建立第一级索引的方式相似，我们在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在我们再来查找 16，只需要遍历 6 个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。

在扩大一点，对于下面64个节点的索引建立5级索引

从图中我们可以看出，原来没有索引的时候，查找 62 需要遍历 62 个结点，现在只需要遍历 11 个结点，速度是不是提高了很多？所以，当链表的长度 n 比较大时，比如 1000、10000 的时候，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。

这种链表加多级索引的结构，就是跳表

跳表的时间复杂度分析

我们知道，在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度是 O(n)。那在一个具有多级索引的跳表中，查询某个数据的时间复杂度是多少呢？

这个时间复杂度的分析方法比较难想到。因此，我们可以先把问题分解一下，先来看这样一个问题，如果链表里有n个节点，会有多少级索引呢？

• 按照上面，每两个节点会抽出一个节点作为上一级索引的节点，那第一级索引的节点个数大约就是n/2，第二级索引的节点个数大约就是n/4，第三极索引的节点个数大约就是n/8，依次类推，也就是，第k级索引的节点个数是第k-1级索引的节点个数的1/2，那第k级索引的节点个数就是$n/(2^k)$
• 假设索引有h级，最高级的索引有2个节点。通过上面的公式，我们可以得到$n/(2^h)=2$，从而可以求得$h=lo{g}_{2}n-1$。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是$h=lo{g}_{2}n$。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个节点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是$O(m\ast logn)$
• 那这个m的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历3个节点，也就是说m=3，为什么是3呢？
• 假设我们要查找的数据时x，在第k级索引中，我们遍历到y节点之后，发现x大于y，小于后面的节点z，所以我们通过y的down指针，从第k级索引下降到第k-1级索引。在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有 3 个结点（包含 y 和 z），所以，我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。
  
  通过上面的分析，我们得到 m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说，我们其实是基于单链表实现了二分查找。不过，天下没有免费的午餐，这种查询效率的提升，前提是建议了很多级索引，也就是空间换时间

跳表的空间复杂度分析

比起单链表，跳表需要存储多级索引，肯定需要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗的是额外的存储空间呢？

我们来分析一下跳表的空间复杂度。，假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是O(n)。也就是说，如果将包含n个节点的单链表构造成跳表，我们需要额外在用接近n个节点的存储空间。那我们有没有办法降低索引的内存空间呢？

• 我们前面都是每两个节点抽一个节点到上级索引，如果我们每三个节点或者五个节点，抽一个节点到上级索引，是不是就不用那么多索引节点了呢？
  

• 从图中可以看出，第一级索引需要大约 n/3 个结点，第二级索引需要大约 n/9 个结点。每往上一级，索引结点个数都除以 3。为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数是1。我们把每级索引的结点个数都写下来，也是一个等比数列。
  

• 通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是O(n)，但是比上面的每两个节点抽一个节点的索引构造方法，要减少了一半的索引节点存储空间

实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在学习数据结构和算法时，我们习惯性的把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引节点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引节点大很多时，那索引占用的额外空间就可以省略了

高效的动态插入和删除

跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。

那如何在跳表中插入一个数据，以及它是如何做到 O(logn) 的时间复杂度的？

我们知道，在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入节点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但是，为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。

对于纯粹的单链表，需要遍历每个节点，来找到插入的位置。但是，对于跳表操作来说，查找某个数据应该插入的位置的时间复杂度是 O(logn)

跳表如何删除一个数据

如果这个节点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的节点，还有删除索引中的。

因为单链表中的删除操作需要拿到删除节点的前驱节点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。当然，如果我们用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。

跳表索引动态更新

当我们不停的往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某2个索引节点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。

• 作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表之间的平衡，也就是说，如果链表中节点多了，索引节点就相应的增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。

• 红黑树、AVL树这样的平衡二叉树是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护“平衡性”

当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层呢？

• 我们通过一个随机函数，来决定将这个节点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。
  
• 随机函数的选择必须讲究，必须能够从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。

为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合

为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合，而不是红黑树？

Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的，严格点讲，其实还用到了散列表。Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个：

• 插入一个数据；
• 删除一个数据；
• 查找一个数据；
• 按照区间查找数据（比如查找值在 [100, 356] 之间的数据）；
• 迭代输出有序序列。

其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂但是，按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。

对于按照区间查找数据这个操作，跳表可以做到O(logn)的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。

当然，redis之所以用跳表来实现有序集合，还有其他原因。比如，跳表更容易代码实现，虽然跳表的实现也不简单，但比起红黑树还是好懂、好写多了，而简单就意味着可读性好，不容易出错。还有，跳表更加灵活，它可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。

不过，跳表也不能完全替代红黑树，因为红黑树树比跳表的出现要早一些，很多编程语言中的Map 类型都是通过红黑树来实现的。我们做业务开发的时候，直接拿来用就可以了，不用费劲自己去实现一个红黑树，但是跳表并没有一个现成的实现，所以在开发中，如果你想使用跳表，必须要自己实现。

总结

• 跳表使用空间换时间的设计思路，通过构建多级索引来提高查询的效率，实现了基于链表的“二分查找”。
• 跳表是一种动态数据结构，支持快速的插入、删除、查找操作，时间复杂度都是 O(logn)。
• 跳表的空间复杂度是 O(n)。不过，跳表的实现非常灵活，可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。虽然跳表的代码实现并不简单，但是作为一种动态数据结构，比起红黑树来说，实现要简单多了。所以很多时候，我们为了代码的简单、易读，比起红黑树，我们更倾向用跳表。