2023NOIP A层联测10 集合

题目大意

你有一个正整数$n$和一个大小为$m$的可重集$B$。

每次你可以可重集$B$中选择一个数$x$，将$x$变为$\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$。

问通过上述操作，能将$n$变成多少种不同的数。

$1\le n\le 10^{15},1\le x\le 10^{15},1\le m\le 10$

时间限制$1s$。

题解

首先，我们知道，$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$的取值个数是$O(\sqrt{n})$的。证明如下：

• 当$1\le d\le \sqrt{n}$时，最多有$\sqrt{n}$个$d$，也就是$\sqrt{n}$个$\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$，故此时取值个数是$O(\sqrt{n})$的
• 当$\sqrt{n}<d\le n$时，$1\le \lfloor \frac{n}{x}\rfloor \le \sqrt{n}$，故此时取值个数是$O(\sqrt{n})$的

所以，$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$的取值个数是$O(\sqrt{n})$的。

直接搜索，然后用$map$记录每个值是否被搜索过。不过，因为调用$map$还要一个$\log$的时间复杂度，所以我们考虑小于等于$\sqrt{n}$的数用一个数组标记，大于$\sqrt{n}$的数用$map$标记。

时间复杂度为$O(\sqrt{n}\log n)$。

最坏情况下的数据如下：

1000000000000000 10
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

如果用上述方法来实现，这个数据只要跑不到$500ms$，所以是可以过的。

code

#include
using namespace std;
int m;
long long n,ans=0,x[15];
bool z[33000005];
map<long long,bool>mp;
void dfs(long long t){
	if(t<=sqrt(n)){
		if(z[t]) return;
		z[t]=1;
	}
	else{
		if(mp[t]) return;
		mp[t]=1;
	}
	++ans;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		dfs(t/x[i]);
	}
}
int main()
{
//	freopen("set.in","r",stdin);
//	freopen("set.out","w",stdout);
	scanf("%lld%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%lld",&x[i]);
		if(x[i]==1){
			--i;--m;
		}
	}
	sort(x+1,x+m+1);
	m=unique(x+1,x+m+1)-x-1;
	dfs(n);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}