【数据结构】：数组及特殊矩阵

一、认识数组

1️⃣ 定义

1. 什么是数组❓

   数组是由$n(n⩾1)$个相同类型的数据元素的有限序列。

   除了定义还需认识一些知识点：

   • 数组元素：数组中的每个数据元素称为一个数组元素。
   • 元素下标：每个元素中的序号
   • 维界：下标的取值范围（例：下图0…6为该数组维界）
   • 维数：a[7]: 一维数组、a[2][2]:二维数组、a[1][2][3]:三维数组
   • 各数组元素大小相同（数据类型相同，字长相同，即大小相同），且物理上连续存放
     

2. 数组与线性表的关系

   1. 数组是线性表的推广。一维数组可以视为一个线形表；二维数组可视为其元素也是定长线性表的线性表。
   2. 数组一旦被定义，其维数和维界就不在改变。因此，除结构的初始化和销毁外，数组只会有存取元素和修改元素的操作。

2️⃣ 存储结构

由于数组在物理上是连续存储的，所以只要知道数组的起始地址、数据类型，就可以算出其存储位置

1. 一维数组

若一维数组A[n]，则其存储结构关系式为：

数组下标从0开始：LOC(A[i]) = LOC(A[0])+i*sizeof(ElemType)        (0<=i<n-1)

数组下标从1开始：LOC(A[i]) = LOC(A[1])+(i-1)*sizeof(ElemType)    (1<=i<n)

小试牛刀


题目描述:
  一维数组A[0...n]采用顺序存储结构,每个元素占用4个字节,该数组的首地址为120，求A[4]的存储地址（ ）

✅正确答案：136

题目解析：
注意数组下标是从0开始的
  如图：
  第一个4：0—4之间一共有四个元素
  第二个4：该数组是int类型，字节为4B

2. 二维数组

对于多维数组，有两种映射方法：按行优先、按列优先

1. 按行存储

   基本思想：先行后列，先存储行号比较小的元素，行号相等先存储列号比较小的元素。

   设二维数组A[m][n],则存储结构关系式为：

   数组下标从0开始：LOC(A[i,j]) = LOC(A[0,0])+(i*n+j)*sizeof(ElemType) 
   
   数组下标从1开始：LOC(A[i,j]) = LOC(A[1,1])+[(i-1)*n+j]*sizeof(ElemType) 
   

   小试牛刀
   
   
   题目描述:
     假设二维数组A[3,4]每个元素占用2个存储单元，数组元素(A[0][0])的起始地址为1000，求数组元素A[2][2]的起始地址。
   
   

   ✅正确答案：1020

   
   

   题目解析：
   注意数组下标是从0开始的
     公式求解：LOC(A[2,2]) = LOC(A[0,0])+(2*4+2)*2=1000+20=1020
     图解：

2. • 列优先(原理同上)

     基本思想：先列后行，先存储列号比较小的元素，列号相等先存储行号比较小的元素。

     设二维数组A[m][n],则存储结构关系式为：

     数组下标从0开始：LOC(A[i,j]) = LOC(A[0,0])+(j*n+i)*sizeof(ElemType) 
     
     数组下标从1开始：LOC(A[i,j]) = LOC(A[1,1])+[(j-1)*n+i]*sizeof(ElemType) 
     

二、特殊矩阵的压缩存储

1. 压缩矩阵：指为多个值相同的元素分配一个存储空间，对零元素不分配存储空间。其目的是节省存储空间
2. 特殊矩阵：值具有许多相同矩阵元素或零元素，并且这些相同矩阵元素或零元素的分布有一定规律性的矩阵。常见特殊矩阵有对称矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵等。
3. 特殊矩阵的压缩存储方法：找到特殊矩阵中值相同的矩阵元素的分布规律，把那些呈现规律性分布的、值相同的多个矩阵元素压缩到一个存储空间中。

1️⃣ 对称矩阵

1. 对称矩阵是什么❓
   上三角区的元素==下三角区元素,A[i][j]==A[j][i]
   

2. 对称矩阵为何不能用二维矩阵存储❓
   对于n阶对称矩阵，上三角元素的所有元素和下三角区对应的元素相同，若扔采用二维数组存放，则会浪费一半的空间，对此将对称矩阵存放在一维数组中。

3. 那么如何将二维数组存储于一维数组❓

   思考1：有多少个二维元素A[0...n-1][0...n-1]存于一维元素中❓

    
   由于上三角区==下三角区，只需要在一维数组中存储主对角线+下三角区
   

   第 1 行(A[0])：1  个元素
   第 2 行(A[1])：2  个元素
   第 3 行(A[2])：3  个元素
   ......
   第 n 行(A[n-1])：n个元素（❗由于数组从0开始，A[0]占了一行，所以A[n]是第n-1行）
   
   共：1+2+3+...+n=[1+n]*n/2=(n+1)*n/2
   

   ✅答案：一维数组共需存储$\frac{(n+1)\ast n}{2}$个元素

   思考2：按行排列，二维数组A[0…n-1][0…n-1]与一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]对应的关系❓

    
   看图做题：

   1. 求A[1][1]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[1][1]位于第2行的第2列
      	第1行：共1个元素
      	第2行：有2个元素
      求和：1+2=3
      B的下标从0开始，所以3-1=2，即A[1][1]`在一维数组B[2]中
      

   2. 求A[2][1]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[2][1]位于第3行的第2列
      	第1行：共1个元素
      	第2行：共2个元素
      	第3行：有2个元素
      求和：1+2+3=5
      B的下标从0开始，所以5-1=4，即A[2][1]`在一维数组B[4]中
      

   3. 求A[i][j]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[i][j]位于第i+1行的第j+1列
      	第 1 行：共 1 个元素
      	第 2 行：共 2 个元素
      	第 3 行：共 3 个元素
      	...
      	第 i 行：共 i 个元素
      	第i+1行：有j+1个元素
      求和：1+2+3+...+i+(j+1)=(i+1)*i/2+(j+1)
      B的下标从0开始，所以(i+1)*i/2+(j+1)-1=(i+1)*i/2+j，即A[i][j]`在一维数组B[(i+1)*i/2+j]中
      

   ✅答案：按行排序，二位数组A[i][j]与一维数组B[$\frac{(i+1)\ast i}{2}+j$]对应

   思考3：按列排列，二维数组A[0…n-1][0…n-1]与一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]对应的关系❓

    
   
   看图做题：

   1. 求A[1][1]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[1][1]位于第2行的第2列
      	第1列：共n-1个元素
      	第2列：有1个元素
      求和：n-1+1=n
      B的下标从0开始，所以n-1=(n-1)，即A[1][1]`在一维数组B[n-1]中
      

   2. 求A[2][1]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[2][1]位于第3行的第2列
      	第1列：共n-1个元素
      	第2列：共2个元素
      求和：n-1+2=n+1
      B的下标从0开始，所以n+1-1=n，即A[2][1]`在一维数组B[n]中
      

   3. 求A[i][j]在一维数组B[0… $\frac{(n+1)\ast n}{2}-1$]的位置：

      A[i][j]位于第i+1行的第j+1列
      	第 1 列：共 n-1 个元素
      	第 2 列：共 n-2 个元素
      	第 3 列：共 n-3 个元素
      	...
      	第 j 列：共 n-j 个元素
      	第j+1列：有i+1-j个元素
      求和：(n-1)+(n-2)+(n-3)+...+(n-j)+(i+1-j)=(n-1+n-j)*j/2+i+1-j=(2n-1-j)*j/2+i+1-j
      B的下标从0开始，所以(2n-1-j)*j/2+i+1-j-1=(2n-1-j)*j/2+i-j，即A[i][j]在一维数组B[(2n-1-j)*j/2+i-j]中
      

   ✅答案：按列排序，二位数组A[i][j]与一维数组B[$\frac{((2n-1-j)\ast j}{2}+i-j$]对应

   思考4：思考二、三都是以下三角区为例，那么上三角区如何存储❓

   
   由图可知，上三角区与下三角区的关系为：A[i][j]==A[j][i]
   所以：

   • 上按行==下按列，二位数组A[i][j]与一维数组B[$\frac{((2n-1-i)\ast i}{2}+j-i$]对应
   • 上按列==上按排，二位数组A[i][j]与一维数组B[$\frac{(j+1)\ast j}{2}+i$]对应

2️⃣ 三角矩阵

1. 三角矩阵是什么❓
   三角矩阵可以分为上三角矩阵和下三角矩阵

   • 下三角矩阵：上三角区所有元素均为一个常量
   • 上三角矩阵：下三角区所有元素均为一个常量
     

2. 三角矩阵如何存储❓

   思考5：有多少个二维元素A[0...n-1][0...n-1]存于一维元素中❓

   以下三角矩阵为例:
    
     三角矩阵与对称矩阵的存储方式相似，不同之处在于，）存储完下三角区和主对角线后，紧接着存储上三角区的常量一次
   

   由对称矩阵可知，下三角区+主对角线的元素=(n+1)*n /2个元素
   三角矩阵多了一个常量：所以共有(n+1)*n /2+1个元素
   

   ✅答案：一维数组共需存储$\frac{(n+1)\ast n}{2}+1$个元素

   思考6：下三角矩阵如何存储❓

   1. 按行存储
      
      看图知：

      • 三角矩阵的下三角区+主对角线与对阵矩阵存储相同，可直接使用思考二的结论.
      • 三角矩阵的上三角区的常量存于一维数组的最后，所以位置固定：$\frac{(n+1)\ast n}{2}$
         

      ✅答案：按行排序，二维数组A[i][j]与B[k]相对应，其中$k=\{\begin{array}{l}\frac{(i+1)\ast i}{2}+j(下和主元素)\\ \\ \frac{(n+1)\ast n}{2}+1(上元素)\end{array}$

   2. 按列存储
      
      看图知：

      • 三角矩阵的下三角区+主对角线与对阵矩阵存储相同，可直接使用思考三的结论.
      • 三角矩阵的上三角区的常量存于一维数组的最后，所以位置固定：$\frac{(n+1)\ast n}{2}$
         

      ✅答案：按行排序，二维数组A[i][j]与B[k]相对应，其中$k=\{\begin{array}{l}\frac{((2n-1-j)\ast j}{2}+i-j(下和主元素)\\ \\ \frac{(n+1)\ast n}{2}+1(上元素)\end{array}$

   思考7：上三角矩阵如何存储❓

   1. 按行存储
      
      图知：

      • 三角矩阵的上三角区+主对角线与对阵矩阵存储相同，可直接使用思考四的结论.
      • 三角矩阵的下三角区的常量存于一维数组的最后，所以位置固定：$\frac{(n+1)\ast n}{2}$
         

      ✅答案：按行排序，二维数组A[i][j]与B[k]相对应，其中$k=\{\begin{array}{l}\frac{((2n-1-i)\ast i}{2}+j-i(上和主元素)\\ \\ \frac{(n+1)\ast n}{2}+1(下元素)\end{array}$
       

   2. 按列存储
      知：

      • 三角矩阵的上三角区+主对角线与对阵矩阵存储相同，可直接使用思考四的结论.
      • 三角矩阵的下三角区的常量存于一维数组的最后，所以位置固定：$\frac{(n+1)\ast n}{2}$
         

      ✅答案：按行排序，二维数组A[i][j]与B[k]相对应，其中$k=\{\begin{array}{l}\frac{(j+1)\ast j}{2}+i(上和主元素)\\ \\ \frac{(n+1)\ast n}{2}+1(下元素)\end{array}$

3️⃣三对角矩阵

1. 三对角矩阵是什么❓

   • 三对角矩阵又称带状矩阵
   • 对于n阶方阵A中的任一元素$a_{i}j$，当$|i-j|>1$时，有$a_{i}j=0(0⩽i,j⩽n-1)$
     

2. 三对角矩阵如何存储❓

   思考8：有多少个二维元素A[0...n-1][0...n-1]存于一维元素中❓

     由上图可知，除了第一行和最后一行为两个元素，其他每行都为三个元素，共有3*n-2个元素
    
   ✅答案：一维数组共需存储$3\ast n-2$个元素

   思考9：按行排序，二维数组A[0...n-1][0...n-1]与一维数组B[0...3n-3]对应的关系❓

     
   A[i][j]在一维数组B[0...3n-3]的位置：

   A[i][j]位于第i+1行的第j+1列
   	第 1 行：共 2 个元素
   	第 2 行：共 3 个元素
   	第 3 行：共 3 个元素
   	...
   	第 i 行：共 3 个元素
   	第i+1行：有j-i+2个元素
   求和：2+3+3+...+3+j-i+2=(3i-1)+j-i+2=2i+j+1
   B的下标从0开始，所以2i+j+1-1=2i+j，即A[i][j]在一维数组B[2i+j]中
   

   ✅答案：按行排序，二位数组A[i][j]与一维数组B[2i+j]对应

   思考10：按列排序，二维数组A[0...n-1][0...n-1]与一维数组B[0...3n-3]对应的关系❓

     
   A[i][j]在一维数组B[0...3n-3]的位置：

   A[i][j]位于第i+1行的第j+1列
   	第 1 列：共 2 个元素
   	第 2 列：共 3 个元素
   	第 3 列：共 3 个元素
   	...
   	第 j 列：共 3 个元素
   	第j+1列：有i-j+2个元素
   求和：2+3+3+...+3+i-j+2=(3j-1)+i-j+2=2j+i+1
   B的下标从0开始，所以2j+i+1-1=2j+i，即A[i][j]在一维数组B[2j+i]中
   

   ✅答案：按列排序，二位数组A[i][j]与一维数组B[2j+i]对应

三、稀疏矩阵

1. 什么样的矩阵是稀疏矩阵❓
   非零元素远远少于矩阵元素个数
   例：100*100矩阵中，只有100个非零元素。
2. 存储方式有哪些❓

   1. 三元组
      

   2. 十字链表法
      

参考资料

《王道：23数据结构考研复习指导》