混沌系统在图像加密中的应用（小波混沌神经网络）

前言

小波混沌神经网络是一种神经网络模型，结合了小波变换和混沌理论，用于信号处理、分类和预测。该模型基于多层前向神经网络，其中每一层由小波基函数和一个非线性混沌函数构成。

一、小波混沌神经网络模型

选用由小波函数组成的小波暂态混沌神经网络作为研究对象。在连续Hopfield网络中引入小波理论和暂态混沌构造的小波混沌神经网络定义如下

对于Hopfield网络可以看我之前的文章
混沌系统在图像加密中的应用（Hopfield混沌神经网络）

与 Hopfield 神经网络相 比，此小波混沌神经网络的激励函数由小波函数和 Sigmoid 函数组成，且具有暂态的混沌动力学行为。其激励函数是非单调递增但总体上是递增的函数，是由 Sigmoid 函数和 Wavelet 函数组合而成的。

Wavelet 函数的意义是既能使激励函数非单调，又能使激励函数有小波函数的优点。其混沌产生机制是通过自反馈连接项按指数方式递减引入的。且此网络多增加了一项非线性时变衰减项

当自反馈连接权 z(t) 以指数方式趋于零时，此混沌神经网络退化为一个 Hopfield 神经网络

为了更好地分析上述模型的运行机理，以单个神经元为例（令α＝０），分析混沌 Hopfield 神经网络的动力学特性。我们选取的激活函数为sigmoid + Wavelet 函数，设置网络参数分别为：
ε_1 = 0.035
ε_2 = 0.1
c = 1/7
k = 1.0
u_0 = 0.5
z_0 = 0.8
I_0 = 0.6
β = 0.001

则网络的输出 v(t)、退温函数z(t)的演化过程分别如下图所示。由图，该网络具有暂态混沌动力学行为，随 着z(t) 不断衰减，通过一个倍周期逆分岔的连续混沌分岔过程，网络将逐渐趋近于一个稳定的平衡点。

二、拓展

大家可以试试其他激活函数，比如softPlus、arcTan、softsign、bent_identity、symmetrical_sigmoid、log_log、gauss、Morlet、ReLU、P-ReLU、Leaky-ReLU、Maxout 等等

三、python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pylab as mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['YouYuan']  # 指定默认字体

def sigmoid(x):
    return 1. / (1 + np.exp(-x))
def Morlet(x):
    return np.exp(-((x)**2) / 2) * np.cos(5 * x)
def Wave(u_t0, z0):
    v_t = sigmoid((u_t0 / r1)) + c * Morlet((u_t0 / r2))
    u_t = k * u_t0 - z0 * (v_t - I0)
    z_t = (1 - b) * z0
    return v_t, u_t, z_t

list_vt = []
list_ut = []
list_I0 = []
list_zt = []
list_rt = []
list_time = []
# 系统初值
z0 = 0.8
u_t0 = 0.5
# 系统参数
r1 = 0.035
r2 = 0.1
c = 1 / 7  # 0
k = 1.0  # 0<=k<=1
b = 0.001  # 0
I0 = 0.60
for i in range(1500):
    v_t1, u_t1, z1 = Wave(u_t0, z0)
    u_t0 = u_t1
    z0 = z1
    r0 = r1
    list_vt.append(v_t1)
    list_I0.append(I0)
    list_ut.append(u_t0)
    list_zt.append(z0)
    list_rt.append(r0)
    list_time.append(i)

plt.figure()
plt.title('Wave Chaos -- activation:sigmoid+Morlet')
plt.tick_params(labelsize=15)
plt.xlabel('迭代次数', fontsize=15)
plt.ylabel('v(t)', fontsize=15)
plt.grid(True, color='c', linestyle='--', linewidth='1')
plt.scatter(list_time, list_vt, c='r', marker='.', s=1)

plt.figure()
plt.tick_params(labelsize=15)
plt.xlabel('迭代次数', fontsize=15)
plt.ylabel('z(t)', fontsize=15)
plt.grid(True, color='c',linestyle='--',linewidth='1')
plt.scatter(list_time, list_zt, c='r',marker='.', s=1)

plt.show()