11-08 周三 图解机器学习之实现逻辑异或，理解输出层误差和隐藏层误差项和动量因子
| 时间 | 版本 | 修改人 | 描述 |
|---|---|---|---|
| 2023年11月8日14:36:36 | V0.1 | 宋全恒 | 新建文档 |
简介
最近笔者完成了《图解机器学习》这本书的阅读，由于最近深度学习网络大行其是，所以也想要好好的弄清楚神经网络的工作原理。比如说训练、比如说验证，比如说权重更新，之前也曾经写过两个博客来描述感知机和BP算法示意。
- 10-09 周一 图解机器学习之深度学习感知机学习
- 11-06 周一 神经网络之前向传播和反向传播代码实战
反向传播这个博客里主要通过一个样本，来不断的更新参数，但实际的神经网络结构是不会像博客中name简单的，因此还是需要给出一个计算公式的。在阅读图解机器学习P169页，如下代码时，自己没有看懂：
# 计算输出层误差
for k in range(self.no):
error = targets[k] - self.ao[k]
output_deltas[k] = dsigmoid(self.ao[k]) * error
# 计算隐藏层的误差
hidden_deltas = [0.0]*self.nh
for j in range(self.nh):
error = 0
for k in range(self.no):
error = error + output_deltas[k] * self.wo[j][k]
hidden_deltas[j] = dsigmoid(self.ah[j]) * error
# 更新输出层权重
for j in range(self.nh):
for k in range(self.no):
change = output_deltas[k]*self.ah[j]
self.wo[j][k] = self.wo[j][k] + N*change + M * self.co[j][k]
上述在计算过程中求出了输出层误差和隐藏层误差项。如何理解这个代码片段呢？
完整代码
import math
import random
import string
random.seed(0)
# 生成区间[a, b)内的随机数
def rand(a, b):
return (b - a) *random.random() + a
# 生成I*J大小的矩阵， 默认零矩阵
def makeMatrix(I, J, fill=0.0):
m = []
for i in range(I):
m.append([fill]*J)
return m
# 函数 sigmoid， 采用tanh函数， 比起标准的1/(1+exp(-x))更好
def sigmoid(x):
return math.tanh(x)
# 函数sigmoid的派生函数 tanh(x)' = 1 - tanh(x)^2
def dsigmoid(x):
return 1.0 - x**2
class BPNeuralNet:
'''建立三层反向传播神经网络'''
def __init__(self, ni, nh, no) -> None:
self.ni = ni + 1
self.nh = nh
self.no = no
# 激活神经网络的所有节点
self.ai = [1.0]* self.ni
self.ah = [1.0]*self.nh
self.ao = [1.0]* self.no
# 建立权重矩阵
self.wi = makeMatrix(self.ni, self.nh)
self.wo = makeMatrix(self.nh, self.no)
# 设为随机值
for i in range(self.ni):
for j in range(self.nh):
self.wi[i][j] = rand(-0.2, 0.2)
for i in range(self.nh):
for j in range(self.no):
self.wo[i][j] = rand(-2.0, 2.0)
# 建立动量因子
self.ci = makeMatrix(self.ni, self.nh)
self.co = makeMatrix(self.nh, self.no)
# 前向传播，得到预计的输出。
# 各个神经元的输出分别位于self.ah 和self.ao
# inputs 代表一个样本
def fp(self, inputs):
if len(inputs) != self.ni -1:
raise ValueError('与输入层节点数不符错误!')
for i in range(self.ni-1):
self.ai[i] = inputs[i]
for j in range(self.nh):
sum = 0.0
for i in range(self.ni):
sum += self.ai[i]* self.wi[i][j]
self.ah[j] = sigmoid(sum)
# 激活输出层
for j in range(self.no):
sum = 0
for i in range(self.nh):
sum += self.ah[i]*self.wo[i][j]
self.ao[j] = sigmoid(sum)
return self.ao[:]
# N 学习速率 learning factor
# M 动量因子 momentum factor
# 基本思路是直接求出每个神经元的误差
def back_propagate(self, targets, N, M):
'''反向传播'''
if len(targets) != self.no:
raise ValueError("与输出层节点数不符!")
output_deltas = [0.0] * self.no
# 计算输出层误差
for k in range(self.no):
error = targets[k] - self.ao[k]
output_deltas[k] = dsigmoid(self.ao[k]) * error
# 计算隐藏层的误差
hidden_deltas = [0.0]*self.nh
for j in range(self.nh):
error = 0
for k in range(self.no):
error = error + output_deltas[k] * self.wo[j][k]
hidden_deltas[j] = dsigmoid(self.ah[j]) * error
# 更新输出层权重
for j in range(self.nh):
for k in range(self.no):
change = output_deltas[k]*self.ah[j]
self.wo[j][k] = self.wo[j][k] + N*change + M * self.co[j][k]
self.co[j][k] = change
# 更新输入层权重
for i in range(self.ni):
for j in range(self.nh):
change=hidden_deltas[j]*self.ai[i]
self.wi[i][j] += N * change + M * self.ci[i][j]
self.ci[i][j] = change
error = 0.0
for k in range(len(targets)):
error = error + 0.5*(targets[k]-self.ao[k])**2
return error
def test(self, patterns):
for p in patterns:
print(p[0], '->', self.fp(p[0]))
def weights(self):
print('输入层权重')
for i in range(self.ni):
print(self.wi[i])
print()
print("输出层权重")
for j in range(self.nh):
print(self.wo[j])
def train(self, patterns, iterations=100000, N =0.5, M=0.1):
for i in range(iterations):
error = 0.0
for p in patterns:
inputs = p[0]
targets = p[1]
self.fp(inputs)
error = error + self.back_propagate(targets, N, M)
if i % 100 ==0:
print('计算误差的值是: %-.5f'%error)
def trainprog():
# BP神经网络学习逻辑异或
pat = [
[[0, 0], [0]],
[[0, 1], [1]],
[[1, 0], [1]],
[[1, 1], [0]]
]
# 创建一个神经网络，输入层两个节点， 输出层两个节点，输出层一个节点：
net = BPNeuralNet(2, 3, 1)
net.train(pat)
# 测试训练的成果
net.test(pat)
if __name__ == '__main__':
trainprog()
上述代码在理解上并不复杂，主要是通过三层神经网络来拟合逻辑异或运算。采用的是个案更新的策略来更新权重参数。
权重更新
基础知识
多层前馈神经网络。
一个示例： 奶酪是否喜爱。
为此我们构建一个神经网络：
激活函数
激活函数
- 指数函数
- sigmoid
- 逻辑回归
校正因子的概念如下：
权重更新的策略有多种：
- 个案更新 case-based 更容易得到准确的结果。
- 批量更新 batch 优点就是比较快，加速。
迭代终止条件
迭代终止条件：
- 当权重和偏置差异与上一次非常小
- 误差达到之前设置的阈值
- 运行次数
存疑代码
# 计算输出层误差
for k in range(self.no):
error = targets[k] - self.ao[k]
output_deltas[k] = dsigmoid(self.ao[k]) * error
# 计算隐藏层的误差
hidden_deltas = [0.0]*self.nh
for j in range(self.nh):
error = 0
for k in range(self.no):
error = error + output_deltas[k] * self.wo[j][k]
hidden_deltas[j] = dsigmoid(self.ah[j]) * error
# 更新输出层权重
for j in range(self.nh):
for k in range(self.no):
change = output_deltas[k]*self.ah[j]
self.wo[j][k] = self.wo[j][k] + N*change + M * self.co[j][k]
self.co[j][k] = change
# 更新输入层权重
for i in range(self.ni):
for j in range(self.nh):
change=hidden_deltas[j]*self.ai[i]
self.wi[i][j] += N * change + M * self.ci[i][j]
self.ci[i][j] = change
上述分别计算出了输出层的误差项和输出层的误差项。按照上述代码理解，前两个for循环用于计算误差项，后两个循环用来更新权重，顺序从后向前，这也是反向传播得名的由来。关键是为什么输出层的误差是这么得来的呢？
参考 BP神经网络-第6集 反向传播误差，调整全部权重，这对于理解是非常关键的。
我们以同样的方式，就可以得到每个神经元的误差。如下图
可以采用矩阵相乘的方法
权重通过矩阵乘表示。
gpt辅助理解
自己还是无法理解，但感觉输出层的误差项与选用的损失函数密切相关，因此，笔者询问了GPT，得到了如下的结果：
- 为什么要乘以激活函数的导数？
- 交叉熵损失函数的输出层误差项
-
均方差 输出层误差项：
由此，我们可以得到如下的图示：
在计算h1节点的误差项时，输出层两个误差项以w7 和 w8进行作用，进而可以得到h1神经元的误差项：
errorh1=w7*e1 + w8 * e2。 依次可以得到h1, h2, h3神经元的误差项损失。
动量因子
代码片段，其实整体贯彻了P166 图解机器学习图13.10，
相互映照，也可以通过代码来理解上述的过程：
代码参见 11-06 周一 神经网络之前向传播和反向传播代码实战
总结
这部分的代码片段比之前的全部手动计算权重更新的过程复杂一些，因为抽象出了输出层误差项和隐藏层误差项，代码的抽象知识更加复杂了，但 BP神经网络-第6集 反向传播误差，调整全部权重则直接给出了误差项的矩阵乘表示，而这种方式，应该也是机器学习库中默认使用的方式吧。总之，这篇文章试图解释《图解机器学习》中第13章深度学习网络的代码，弄清楚其中权重更新的方式，包括为什么使用动量因子进行更新这种优化技术。希望读者能够读懂，进而在自己的工程实践中使用深度学习解决自己的问题。