理解拟序关系

集合P上的一个二元关系≤称为拟序关系（quasi-order）（有时我们也称为预序关系（preorder））：

若该二元关系满足如下条件：

1.自反性：a ≤ a，对于P中任意的元a(reflexivity)；

2.传递性: 若 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c ，这里的 a,b,c 为P中的元(transitivity).

满足反对称性的拟序关系就称为偏序关系。
在数学中，预序关系（简称预序，又称先序，preorder）是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

定义
考虑集合 P 及其上的二元关系 。若≤具有自反性和传递性，则称≤为预序。具体来说，对任意 P 的元素 a，b 和 c，下列性质成立：

a≤a (自反性)
若 a≤b 且 b≤c，则 a≤c (传递性)
带预序的集合称为预序集合。同时满足反对称性（若 a≤b 且 b≤a，则 a = b）的预序为偏序。

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%8B%9F%E5%BA%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%A2%84%E5%BA%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB

 

与以下定义矛盾：

定义10.8.2 对非空集合A上的关系R，如果R是反自反的和传递的，则称R为A上的拟序关系。
在不会产生误解时，拟序关系R通常记作<。当xRy 时，可记作x<y，读作 "小于" 。

偏序关系又称弱偏序关系，或半序关系。拟序关系又称强偏序关系。

http://cj.aufe.edu.cn/cai/%C0%EB%C9%A2%CA%FD%D1%A7/text/chapter10/section8/part1/l1.htm#06

拟序关系
定义: 集合A上的二元关系R是反自反的和传递的, 称R为A上的拟序关系。称(A, R)为拟序集,或记为(A,<)(注意, 此符号<在这里也不意味着小于)。
常见的拟序关系有：实数集R上的小于关系<；集合A的幂集P(A)上的真包含关系。
定理1: 集合A上的二元关系R是拟序的, 则R必为反对称的。
由此定理, 我们可知拟序关系实际上是满足反自反的, 反对称的和传递的。
定理2：设R是A上的二元关系,则
(1)若R是A上的拟序关系, 则r(R)=R∪IA是A上的偏序关系。
(2)若R是A上的偏序关系, 则R-IA是A上的拟序关系。

http://cise.sdkd.net.cn/lssx/7StressResolve/cha3/paichiyuanli.htm