高等数学教材啃书汇总重难点（二）导数与微分

        导数和微分是微积分学中的重要概念。导数指的是一个函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。微分则是对一个函数进行微小的变化，并计算这个变化所引起的函数值的变化量。导数和微分的概念密切相关，它们是微积分学中的基础，也是应用数学中的常见问题解决方法之一。导数可以帮助我们研究函数的变化趋势，了解函数的最大值、最小值、拐点以及函数的凸凹性质等。微分则是导数的一个应用，它是对函数进行微小的变化，并计算这个变化所引起的函数值的变化量。同上期一样，插播考研数学一对于这一章的大纲：

 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.

6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

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本帖更新第二章的重点知识。对于数学一中的证明题，主要集中在第三章的各种中值定理，而其他章节的证明，重要程度较低。因此在日常学习的过程中，学有余力时可以死磕一些不重要的证明题，而压力较大时建议着重攻克。

本章的内容相对不重要一些，因此很多知识点的证明简写，如果有需要自行翻书阅读。

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1.导数的定义

2.单侧导数

3导数的几何意义

4.可导性与连续性的关系

5.用定义求解导数（笔记中的标号漏掉了）

6.求导和差法则的证明

7.求导积商法则的证明

8.反函数求导

9.复合函数求导法则

10.高阶导数

11.莱布尼茨公式

12.隐函数求导

13.参数方程求导

14.微分

1.在导数的定义内容中，重点在于y值变化量和x值变化量的比值，以及趋于0的变量是x的变化值；意义在于，因变量随自变量变化而变化的快慢程度~

2.单侧导数，本质就是两种逼近方式的区别

3.几何意义，即为该点处的斜率~

4.根据定义可知，可导一定连续，而连续不一定可导~（证明时用到了变化值趋于零时改变量趋于零，也就是函数值等于极限值）

5.用定义求导数时，需要熟记导数的三种定义~

6和7都是有关倒数的证明题，需要说明的是，无论如何，有关证明的部分最终一定会回归到定义上~

8.有关反函数求导定理的证明，看看即可，重点是牢记原函数导数的倒数的规则~

9+10都是很基础的求导计算题，不再赘述

11.莱布尼茨公式类似二项式展开定理，看看就好

12+13也是求导计算题，各自的计算方式要牢记

14~16微分相关的基础定义，本质上就是对于导数定义的移项~ （微分的几何意义就是将变化量无限缩小）