AcWing算法提高课----图论 笔记 （差分约束）

知识点讲解

差分约束可以求什么:

1. 求不等式组的可行解
2. 如何求最大值或者最小值

Q1:如何求不等式组的可行解

形如:$x_i$ $<=$ $x_j$ $+$ $c_k$的不等式
其中$x_i$ $x_j$为自变量 $c_k$为常量
可以看成j-->i(c)的边

对于每一条边都会满足dist[i] <= dist[j] + c

满足条件:
源点:从源点出发,一定可以走到所有的边(一定要满足!!!)

步骤:

1. 先将每个不等式$x_i$ $<=$ $x_j$ $+$ $c_k$,转换成一条从$x_j$走到$x_i$,长度为$c_k$的一条边
2. 找一个超级源点,使得该源点一定可以遍历到所有边
3. 从源点求一遍单源最短路

若存在负环则存在矛盾

结果1:如果存在负环,则原不等式组一定无解
结果2:如果没有负环,则dist[i]就是原不等式组的一个可行解

Q2: 如何求最大值或者最小值(每个变量的最值)

结论1:如果求的是最小值,则应该求最长路;如果求的是最大值,则应该求最短路

Q2.1:如何转化$x_i$<=$c$,其中c是一个常数,这类不等式

方式:建立一个超级源点0, $x_i$<=$c$ 转换为 $x_i$<=$x_0$+$c$ 然后建立0-->i(c)

以求$x_i$最大值为例:
从所有$x_i$出发,构成不等式链$x_i$<=$x_j$+$c_1$<=$x_k$+$c_1$+$c_2$+$c_3$+$\dots \dots$所计算出的上界，最终$x_i$的最大值等于所有上界的最小值。

每个链式不等式都是从0出发走到i的一条路径

例题一：AcWing1169.糖果

题目链接

答案：

/*
分析：
1. A=B <--> A>=B && B>=A
2. A B>=A+1
3. A>=B <--> A>=B
4. A>B <--> A>=B+1
5. A<=B <=> B>=A
AB都为相对值
隐含条件：绝对值 x>=1 <--> x>=x0+1  x0=0
求sum(xi)最大  即xi最大
方法： 从0号点走一遍单元最长路
*/

#include 
#include 
#include
#define ll long long
const int N = 1e5 + 10;
const int M = 3e5 + 10;
using namespace std;

int n,m;
int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
ll dist[N];
int q[N],cnt[N];
bool st[N];

void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

bool spfa(){
    int hh=0,tt=1;
    memset(dist,-0x3f,sizeof dist);
    dist[0]=0;
    q[0]=0;
    st[0]=1;
    while(hh!=tt){
        //int t=q[hh++];
        //if(hh==N) hh=0;
        int t=q[--tt];
        st[t]=0;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dist[j]<dist[t]+w[i]){
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                cnt[j]=cnt[t]+1;
                if(cnt[j]>=n+1) return 0;
                if(!st[j]){
                    q[tt++]=j;
                    //if(tt==N) tt=0;
                    st[j]=1;                
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}

inline void solve(){
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--){
        int x,u,v;
        cin>>x>>u>>v;
        if(x==1) add(v,u,0),add(u,v,0);
        else if(x==2) add(u,v,1);
        else if(x==3) add(v,u,0);
        else if(x==4) add(v,u,1);
        else add(u,v,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) add(0,i,1);
    if(!spfa()) cout<<-1<<endl;
    else{
        ll res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) res+=dist[i];
        cout<<res<<endl;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int t=1;
    //cin>>t;
    while(t--) solve();
    return 0;
}

~i --> i > -1

例题二：AcWing.362 区间

题目链接

答案：

/*
分析：
[a,b]中选不少于c个
方法：1.贪心 2.差分约束
差分约束步骤：
1.找不等关系
ai -> ai + 1,bi -> bi + 1 把0空出来
利用前缀和思想 s0=0
si表示1~i中被选出的数的个数 s50001的最小值 ->求最长路
si >= si-1
si - si-1 <= 1 --> si-1 >= si - 1 
[a,b]c sb-sa-1>=c
条件要找全！！！
*/

#include 
#include 
#include
#define ll long long
const int N = 5e4 + 10;
const int M = 2e5 + 10;
using namespace std;

int n;
int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
ll dist[N];
int q[N];//,cnt[N];
bool st[N];

void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

bool spfa(){
    int hh=0,tt=1;
    memset(dist,-0x3f,sizeof dist);
    dist[0]=0;
    q[0]=0;
    st[0]=1;
    while(hh!=tt){
        int t=q[hh++];
        if(hh==N) hh=0;
        //int t=q[--tt];
        st[t]=0;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dist[j]<dist[t]+w[i]){
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                //cnt[j]=cnt[t]+1;
                //if(cnt[j]>=n+1) return 0;
                if(!st[j]){
                    q[tt++]=j;
                    if(tt==N) tt=0;
                    st[j]=1;                
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}

inline void solve(){
    cin>>n;
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=50001;i++){
        add(i-1,i,0);
        add(i,i-1,-1);
    }
    while(n--){
        int u,v,k;
        cin>>u>>v>>k;
        u++,v++;
        add(u-1,v,k);
    }
    //for(int i=1;i<=n;i++) add(0,i,1);
    spfa();
    cout<<dist[50001]<<endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int t=1;
    //cin>>t;
    while(t--) solve();
    return 0;
}

例题三：AcWing1170. 排队布局

题目链接

答案：

/*
分析：
1. xb-xa<=L  -->  xb<=xa+L   a-->b(L)
2. xb-xa>=D  -->  xa<=xb-D   b-->a(-D)
3.xi <= xi+1 + 0 1<=i<=n   i+1 --> i(0)
求最大距离，所以用最短路
假设所有牛  xi<=x0  ->   x0=0   0->i(0)
若有负环无解
判断是不是无穷大 ：把x1顾定成0  x1=0 判断xn是否无限大   <--> 求从x1到xn的最短路径 
*/

#include 
#include 
#include
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
const int N = 1010;
const int M = 21010;
using namespace std;

int n,m1,m2;
int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
int dist[N];
int q[N],cnt[N];
bool st[N];

void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

bool spfa(int size){
    int hh=0,tt=1;
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    memset(cnt,0,sizeof cnt);
    memset(st,0,sizeof st);
    for(int i=1;i<=size;i++){
        dist[i]=0;
        q[tt++]=i;;
        st[i]=1;
    }
    while(hh!=tt){
        int t=q[hh++];
        if(hh==N) hh=0;
        st[t]=0;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i]){
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                cnt[j]=cnt[t]+1;
                if(cnt[j]>=n+1) return 0;
                if(!st[j]){
                    q[tt++]=j;
                    if(tt==N) tt=0;
                    st[j]=1;                
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}

inline void solve(){
    cin>>n>>m1>>m2;
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<n;i++) add(i+1,i,0);
    while(m1--){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        if(b<a) swap(a,b);
        add(a,b,c); 
    }
    while(m2--){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        if(b<a) swap(a,b);
        add(b,a,-c); 
    }
    //for(int i=1;i<=n;i++) add(0,i,1);
    if(!spfa(n)) cout<<-1<<endl;
    else{
        spfa(1);
        if(dist[n]==inf) cout<<-2<<endl;
        else cout<<dist[n]<<endl;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int t=1;
    //cin>>t;
    while(t--) solve();
    return 0;
}

例题4：AcWing393.雇佣收银员

题目链接

答案

/*
分析：
R0 0:00-01:00
R1 1:00-02:00
...
R23 23:00-00:00
最小值用最长路
统计每个时刻来的人数num[i]
从xi选多少个
条件：
1.  0<= xi <= num[i] 
2.  xi-7 + xi-6 + ... + xi >= ri
s0 = 0  s[i] = s[1] + s[2] + ... + s[i] 
1. 0 <= s[i]-s[i-1] <= num[i] 1 <= i <= 24
2. i>=8   si - si-8 >= ri
   0= ri

换成不等式：
1.  si >= si-1 + 0   i-1-->i(0)
2.  si-1 >= si - num[i]
3.  i>=8 si >= si-8 + ri
4.  0 < i <=7   si >= si+16 - s24(枚举所有取值) + ri 
5. s0 <= s24 - c
*/

#include 
#include 
#include
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
const int N = 30;
const int M = 100;
using namespace std;

int n;
int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
int r[N],num[N];
int dist[N];
int q[N],cnt[N];
bool st[N];

void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void build(int s24){
    memset(h,-1,sizeof h);
    idx=0;
    for(int i=1;i<=24;i++){
        add(i-1,i,0);
        add(i,i-1,-num[i]);
    }
    for(int i=8;i<=24;i++) add(i-8,i,r[i]);
    for(int i=1;i<=7;i++) add(i+16,i,-s24+r[i]);
    add(0,24,s24);
    add(24,0,-s24);
}

bool spfa(int size){
    build(size);
    int hh=0,tt=1;
    memset(dist,-0x3f,sizeof dist);
    memset(cnt,0,sizeof cnt);
    memset(st,0,sizeof st);
    dist[0]=0;
    q[0]=0;;
    st[0]=1;
    while(hh!=tt){
        int t=q[hh++];
        if(hh==N) hh=0;
        st[t]=0;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dist[j]<dist[t]+w[i]){
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                cnt[j]=cnt[t]+1;
                if(cnt[j]>=25) return 0;
                if(!st[j]){
                    q[tt++]=j;
                    if(tt==N) tt=0;
                    st[j]=1;                
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}

inline void solve(){
    for(int i=1;i<=24;i++) cin>>r[i];
    cin>>n;
    memset(num,0,sizeof num);
    for(int i=0;i<n;i++){
        int t;
        cin>>t;
        num[t+1]++;
    }
    bool tag=0;
    for(int i=0;i<=1000;i++){
        if(spfa(i)){
            cout<<i<<endl;
            tag=1;
            break;
        }
    }
    if(!tag) cout<<"No Solution"<<endl;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int t=1;
    cin>>t;
    while(t--) solve();
    return 0;
}