[Acwing算法基础课]3.搜索与图论（一）笔记

一、DFS和BFS

	数据结构	空间	备注
DFS	stack	$O(h)$（树的高度相关）	/
BFS	queue	$O(2^h)$（树的层相关）	具有最短路径的性质

1.1 DFS

回溯、恢复现场

#include
using namespace std;

const int N = 10;
int n;
int path[N];	//路径保存(存储方案)
bool st[N];		//检验这个点是否被用过

void dfs(int u)
{
	if (u == n)		//递归到最后一层
	{
		for (int i = 0; i < n; i++)
			printf("%d ", path[i]);
		puts("");
		return;
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++)	//未递归到最后一层
	{
		if (!st[i])		//如果该点未被使用过
		{
			path[u] = i;	//将该点记录
			st[i] = true;
			dfs(u + 1);
			st[i] = false;	//恢复现场
		}
	}
}

int main()
{
	cin >> n;
	dfs(0);
	return 0;
}

• 第一种搜索顺序：按行枚举

#include
using namespace std;

const int N = 20;	//对角线需要两倍的n
int n;
char g[N][N];		//存储棋子情况
bool col[N], dg[N], udg[N];		//列、对角线、反对角线情况

void dfs(int u)
{
	if (u == n)
	{
		for (int i = 0; i < n; i++)
			puts(g[i]);		//输出每行的棋子情况
		puts("");
		return;
	}
	
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i])
		{
			g[u][i] = 'Q';
			col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = true;		//记录为true
			dfs(u + 1);
			col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = false;	//恢复现场
			g[u][i] = '.';
		}
	}
}

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			g[i][j] = '.';
	dfs(0);
	return 0;
}

• 第二种搜索顺序：一个一个格子进行搜索。

#include
using namespace std;

const int N = 20;	//对角线需要两倍的n
int n;
char g[N][N];		//存储棋子情况
bool row[N],col[N], dg[N], udg[N];		//行、列、对角线、反对角线情况

void dfs(int x,int y,int s)		//行列坐标及当前皇后的数量
{
	if (y == n)
		y = 0, x++;
	if (x == n)
	{
		if (s == n)		//找到了一种成功的方案
		{
			for (int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
			puts("");
		}
		return;
	}

	//枚举两种情况:不放皇后
	dfs(x, y + 1, s);
	//放皇后
	if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n])
	{
		g[x][y] = 'Q';
		row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
		dfs(x, y + 1, s + 1);
		row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
		g[x][y] = '.';		//恢复现场
	}
}

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			g[i][j] = '.';
	dfs(0, 0, 0);
	return 0;
}

1.2 BFS

当所有边的权重都为1时，才可以使用BFS求解最短路径问题。

#include
#include
#include

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 110;
int n, m;
int g[N][N];	//存储地图
int d[N][N];	//存储最短路径
PII q[N * N];

int bfs()
{
	int hh = 0, tt = 0;			//定义空队列
	q[0] = { 0,0 };				//记录开始点坐标
	memset(d, -1, sizeof d);	//初始化最短距离为-1
	d[0][0] = 0;
	
    //向量表示(-1,0),(0,1),(1,0),(0,-1)
	int dx[4] = { -1,0,1,0 }, dy[4] = { 0,1,0,-1 };	
	
	while (hh <= tt)
	{
		auto t = q[hh++];	//将队首元素入队
		for (int i = 0; i < 4; i++)
		{
			int x = t.first + dx[i], y = t.second + dy[i];
			if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] == 0 && d[x][y] == -1)
			{
				//g数组等于0表示该点是路径上的点,d数组为-1表示未被选过
				d[x][y] = d[t.first][t.second] + 1;
				q[++tt] = { x,y };		//将该点记录
			}
		}
	}
	return d[n - 1][m - 1];
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < m; j++)
			cin >> g[i][j];
	cout << bfs() << endl;
	return 0;
}

​ 若需要输出路径，则可以在d[x][y] = d[t.first][t.second] + 1;后添加一句代码用于存储当前元素的前一个元素Prev[x][y] = t;【记录路径】，然后在函数返回前输出路径：

int x = n - 1,y = m - 1;
while(x || y)
{
    cout << x << ' ' << y << endl;
    auto t = Prev[x][y];
    x = t.first, y = t.second;
}

1.3 图的存储方式与遍历

树是无环连通图，是一种特殊的图。图分为有向图和无向图。

• 邻接矩阵
• 邻接表：每个节点开了一个单链表

给定一颗树，树中包含 n 个结点（编号 1∼n）和 n−1 条无向边。

请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。

输入格式

第一行包含整数 n，表示树的结点数。

接下来 n−1 行，每行包含两个整数 a 和 b，表示点 a 和点 b 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数 m，表示将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

数据范围

$1\le n\le 10^5$

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 100010, M = N * 2;

int h[N], e[M], ne[M];	//h数组存储每个链表的链表头,e数组存储每个节点的编号,ne存储的是每个节点的next指针
int n, idx;
bool st[N];				//标记是否已经被访问
int ans = N;			//记录答案

void add(int a, int b)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

//以u为根的子树中点的数量
int dfs(int u)
{
	st[u] = true;				//标记一下,已经被搜过
	int sum = 1, res = 0;		//sum记录当前子树的点, res记录当前子树的连通块点数
	for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
	{
		int j = e[i];
		if (!st[j])
		{
			int s = dfs(j);		//获得子树连通块点的数量
			res = max(res, s);	//将s与res取大
			sum += s;			//将子树的数量加入点数
		}
	}
	res = max(res, n - sum);	//n - sum为除了以该点为子树的剩余部分
	ans = min(ans, res);		//记录结果
	return sum;					//返回子树数量
}

int main()
{
	cin >> n;
	memset(h, -1, sizeof h);
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		add(a, b), add(b, a);	//无向边,需要添加不同方向的两条边
	}
	dfs(1);						//从任意节点开始深度优先
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 100010;

int h[N], e[N], ne[N], idx, n, m;
int d[N], q[N];		//d数组记录最远距离,q数组记录队列

void add(int a, int b)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int bfs()
{
	int hh = 0, tt = 0;
	q[0] = 1;	//初始化
	memset(d, -1, sizeof d);
	d[1] = 0;
	while (hh <= tt)
	{
		int t = q[hh++];
		for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])		//扩展每个点的邻边
		{
			int j = e[i];
			if (d[j] == -1)		//第一次被访问
			{
				d[j] = d[t] + 1;
				q[++tt] = j;
			}
		}
	}
	return d[n];
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	memset(h, -1, sizeof h);
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		add(a, b);
	}

	cout << bfs() << endl;
	return 0;
}

1.4 有向图的拓扑序列

若一个由图中所有点构成的序列 A 满足：对于图中的每条边 (x,y)，x 在 A 中都出现在 y 之前，则称 A 是该图的一个拓扑序列。

有向无环图称为拓扑图。

queue <- 所有入度为0的点
while queue不为空
{
	t <- 队头
	枚举 t 的所有出边 t -> j
		删去t -> j, d[j]--;
		if d[j] == 0:
			queue <- j;
}

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int d[N];
int q[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!d[i])
            q[ ++ tt] = i;

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (-- d[j] == 0)
                q[ ++ tt] = j;
        }
    }

    return tt == n - 1;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);

        d[b] ++ ;
    }

    if (!topsort()) puts("-1");
    else
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", q[i]);
        puts("");
    }

    return 0;
}

二、最短路径问题

[注意算法的时间复杂度]

单源最短路径

• 所有边权都是正数
  • 朴素Dijkstra算法 $O(n^2)$ 边稠密图 m~n^2
  • 堆优化版的Dijkstra算法 $O(mlogn)$ 边稀疏图 m~n
• 存在负权边
  • Bellman-Ford算法 O(nm)
  • SPFA算法 一般O(m)，最坏O(nm)

多源汇最短路径(起点、终点任选)

• Floyd算法 $O(n^3)$

2.1 朴素Dijkstra算法

1. dist[1]=0，dist[i]=+∞，s为当前已确定最短路径的点

2. for i: 0~n

   t<- 不在s中的、距离最近的点

   s<-t，用t更新其他点的距离，dist[x] > dist[t] + w

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 510;

int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];

int dijkstra()
{
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;	//初始化
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int t = -1;		//t为-1表示还未选择一个点
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
				t = j;		//选取还未被选择的且距离最近的点
		}
		st[t] = true;
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
		}
	}
	
	if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;	//不连通
	return dist[n];
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	memset(g, 0x3f, sizeof g);
	while (m--)
	{
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		g[a][b] = min(g[a][b], c);
	}
	int t = dijkstra();
	printf("%d\n", t);
	return 0;
}

2.2 堆优化版的Dijkstra算法

堆：

• 手写堆（n个数）
• 优先队列（m个数）

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;	//小根堆
    heap.push({0, 1});

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;

        if (st[ver]) continue;	//被更新过，是冗余备份
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    cout << dijkstra() << endl;

    return 0;
}

2.3 Bellman-Ford算法

for n次
	for 所有边	a,b,w
		dist[b] = min(dist[b],dist[a] + w);		//松弛操作

有三角不等式：dist[b] <= dist[a] + w。

k次—>经过不超过k条边的最短路径的距离

n次—>存在一条最短路径，上面有n条边，则路径上一定存在负环

算法时间复杂度 O(nm)，n表示点数，m表示边数。

注意在模板题中需要对下面的模板稍作修改，加上备份数组，详情见模板题。

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
    int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > dist[a] + w)
                dist[b] = dist[a] + w;
        }
    }

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510, M = 10010;

struct Edge
{
    int a, b, c;
}edges[M];

int n, m, k;
int dist[N];
int last[N];        //用于备份

void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);        //初始化

    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        memcpy(last, dist, sizeof dist);    //将当前的值赋值到last数组中来备份
        for (int j = 0; j < m; j++)
        {
            auto e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.c);    //取最小值
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);

    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        edges[i] = { a, b, c };
    }

    bellman_ford();

    //除以2的原因是0x3f3f3f3f也可能经历一些小的改变
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible");
    	else printf("%d\n", dist[n]);

    return 0;
}

2.4 SPFA算法

考虑到dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.c);一式只有当a变化的时候dist[e.b]才会发生改变，故有：

while queue 不空
	(1)t <- q.front;
	q.pop();
	(2)更新t的所有出边: t -w-> b;	//待更新的点的集合
	queue <- b

2.4.1 SPFA算法求最短路径

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
	e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int spfa()
{
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;

	queue<int> q;
	q.push(1);
	st[1] = true;

	while (q.size())
	{
		int t = q.front();	//将队首元素取出
		q.pop();
		
		st[t] = false;		//设为false代表已经出队
		for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if(dist[j] > dist[t] + w[i])
			{
				dist[j] = dist[t] + w[i];
				if (!st[j])
				{
					//如果不在队列里,将其入队
					q.push(j);
					st[j] = true;
				}
			}
		}
	}

	return dist[n];
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);

	memset(h, -1, sizeof h);

	while (m--)
	{
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		add(a, b, c);
	}

	int t = spfa();
	if (t == 0x3f3f3f3f) puts("impossible");
		else printf("%d\n", t);

	return 0;
}

2.4.2 SPFA算法判断负环

​ 有：dist[x] = dist[t] + w[i]; cnt[x] = cnt[t] + 1，若有cnt[x] >= n，则在这个路径上有n+1个点，由抽屉原理可知，存在有两个相同的点，该路径存在负环。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 2010, M = 10010;

int n, m;
int h[N], w[M], e[M], ne[M], idx;
int dist[N], cnt[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool spfa()
{
    queue<int> q;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        st[i] = true;
        q.push(i);
    }

    while (q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;

                if (cnt[j] >= n) return true;
                if (!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    if (spfa()) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

2.5 Floyd算法

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 210, INF = 1e9;

int n, m, Q;
int d[N][N];

void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        d[a][b] = min(d[a][b], c);
    }

    floyd();

    while (Q -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);

        int t = d[a][b];
        if (t > INF / 2) puts("impossible");
        else printf("%d\n", t);
    }

    return 0;
}