2020icpc上海赛G题 Fibonacci详解

Fibonacci(icpc2020上海赛)

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64bit IO Format: %lld

题目描述

In mathematics, the Fibonacci numbers, commonly denoted as fn, is a sequence such that each number is the sum of the two preceding numbers, starting with 1 and 1. That is, $f_1$=1,$f_2$=1and $f_n$=$f_{n-2}$+$f_{n-1}$ (n≥3).
Thus, the beginning of the sequence is 1,1,2,3,5,8,13,21,….

Given n{n}n, please calculate ${\sum }_{i=1}^n$ ${\sum }_{j=i+1}^n$g($f_i$,$f_j$) , where g(x,y)=1when x⋅y is even, otherwise g(x,y)=0.

输入描述:

The only line contains one integer n(1≤n≤109).

输出描述:

Output one number – ${\sum }_{i=1}^n$ ${\sum }_{j=i+1}^n$g($f_i$,$f_j$)

示例1

输入

3

输出

2

示例2

输入

10

输出

24

示例3

输入

100

输出

2739

题解

题意：
将当前斐波那契数分别与其后到n的数相乘，值为偶数总和加一。
先举几个
例一：
1 1 2   3 5 8
与其后相乘为偶的个数
2 2 3   1 1 0
例二：
1 1 2   3 5 8   13 21 34
与其后相乘为偶的个数
3 3 6   2 2 3   1  1  0
例三：
1 1 2   3 5 8   13 21 34   55
与其后相乘为偶的个数
3 3 6   2 2 3   1  1  0    0
   +1      +1		 +1
3 3 7   2 2 4   1  1  1    0
例四：
1 1 2   3 5 8   13 21 34   55 89
与其后相乘为偶的个数
3 3 6   2 2 3   1  1  0    0  0
   +2      +2		 +2
3 3 8   2 2 5   1  1  2    0  0

细心的同学是不是已经发现规律了呢(#^.^#)

若想让x*y为偶，只需其中一个为偶数，
当我们从上面的例子观察就不难发现，每3个数中就会有一个数是偶数
定义 ou记录有几组这样的数，op记录余下数(奇数)
拿例二来看：
1 1 2   3 5 8   13 21 34
与其后相乘为偶的个数
3 3 6   2 2 3   1  1  0
从第一组往后各组中的奇数能匹配的偶数成等差数列
求和即为 ou*(ou+1)/2
每组中两个奇数匹配的偶数数量是相同的 *2
所以奇数向后能匹配的偶数就有ou*(ou+1)

同样偶数与其后的奇数匹配的情况就是
ou*op + (ou-1)*3*ou/2

代码

#include
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans,ou,op;
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	op = n%3;
    ou = n/3;
	ans=ou*(ou+1) + ou*op + (ou-1)*3*ou/2;
	printf("%lld\n",ans);
}