每天一道算法题:n个球中取出m个球不同思路分析

楔子

在开始算法分析之前,这里需要引入数学中组合排列的概念,先基本介绍一下组合、排列:

  • 排列
  1. 定义:从n个不同的元素中任取m个(m<=n)元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列
  2. 使用排列的三个条件:1、n个不同元素;2、任取m个;3、讲究顺序
  3. 排列数计算公式:A(n,m)
    每天一道算法题:n个球中取出m个球不同思路分析_第1张图片
    这里稍微说明一下,因为第一项有n-(1-1),第二项是n-(2-1),所以说m项就n-(m-1);
  4. 举例:A(4,2)
A(4,1) = > (4*3*2*1)/1
		    =>4!/ (4-1)!
		    =>(4*3*2*1)/(3*2*1)
		    =>4	
A(4,0) => 4!/(4-0)!
			=>1    
		    
  • 组合
  1. 定义:从n个不同的元素中任取m个(m<=n)元素并为一组,叫做从n个不同的元素中任取m个元素的组合
  2. 使用组合的三个条件:1、n个不同的元素;2、任取m个;3、并为一组,不讲究顺序
  3. 组合数计算公式:C(n,m);
    每天一道算法题:n个球中取出m个球不同思路分析_第2张图片
    4.来个例题:
    每天一道算法题:n个球中取出m个球不同思路分析_第3张图片
  • 组合与排列的区别
  1. 共同点:都是从n个元素中任取m个元素
  2. 不同点:排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关,也就是说,组合是选择的结果,而排列是先选择再排列的结果,举个例子:ABCD四个数按任意2个进行排列,那么可排列的结果有:AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DC、DB,而组合的结果有:AB、AC、AD、BC、BD、CD、对于组合来说,是讲究顺序的,所以AB和BA对于组合来说属于同一组合

算法:求n个球中取出m个球的不同取法

  • 循环思路:根据上面对组合、排序的介绍,通过分析,我们可以知道这是一道组合题型,所以我们可以通过组合的公式轻松得出结果:C(n,m) = A(n,m)/A(m,m);代码如下,
  public static int getBall2(int n,int m){
        int stratum_N = 1;//用于计算n的阶层
        int stratum_M = 1;//用于计算m的阶层
        //如果m>n(ps:3个球怎么一次取5个emm,直接返回0)
        if(m>n) return 0;
        //如果m==n,那么肯定只有一种取法
        if(m==n) return 1;
        //如果m=0,那么同样只有一种取法,那就是不取
        if(m==0) return 1;
        //A(n,m)中,m就相当于n的阶层次数,而对于m本身来说,循环m次
        //刚好就是它本身的全部阶层,也就是m的全排列
        for(int i=0;i<m;i++){
            stratum_N *= (n-i);
            stratum_M *= (m-i);
        }
        return stratum_N/stratum_M;
    }
  • 递归思路:在之前数组求和的文章中我们提过,使用递归需要构造相似性,也就是找到使用递归的条件,这个题我们乍一看貌似找不到相似性,那应该怎么做呢?这种时候,就需要我们自己去构造相似性了,我们假设从n个球中取出的m个球中,一定要有我特别中意的一个球,这样一来,我们就可以把**“从n个球中取m个球”**分解成两种情况:
    1. 取出的m个球中一定有我中意的那个球,因为我中意的那个球已经内定了,所以剩下的就变成了从n-1个球中取出m-1个球
    2. 取出的m个球中一定没有我中意的那个球,因为要取出的m个球中一定没有我中意的那个球,所以剩下的就变成了从n-1个球中取出m个球

结合这两种情况的取法,就是题目要求的从n个球中取m个球的所有取法,下面我们开始写代码

 //递归方式:思路:
    // 构造递归,假设在要取的m个球中一定要取n个球中的某一个球,于是
    //n个球取m个球就变成了:
    // 1.n-1个球中取m-1个球 (一定要取某一个球,那么剩下的就从n-1个球中取m-1个球)
    // 2.n-1个球中取m个球(一定不取某个球,那么剩下的就从n-1个球中取m个)
    public static int getBall(int n,int m){
        //在n-1个球中取m个球,n不断减小,当n=m时,只有一种取法
        if(n==m) return 1;
        //当n
        if(n<m) return 0;
        //在n-1个球中取m-1个球,这里n是大于m的,所以即使不断减小n还是大于m
        //当m==0的时候,取0个球只有一种取法,那就是不取,这里很容易理解错误
        //取0个球也是可以取得
        if(m==0) return 1;
        return getBall(n-1,m-1) + getBall(n-1,m);
    }

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