NOIP2023模拟15联测36 数字变换

题目大意

你有一个质数$p$和一个二元组$(a,b)$，它们的和不被$p$整除。

你想对这个二元组进行若干次操作，让它们变成另外一个二元组。每一步，你可以对二元组做如下操作中的一个：

• 把$(a,b)$变成$(2a\mathrm{mod}p,(b+p-a)\mathrm{mod}p)$
• 把$(a,b)$变成$((a+p-b)\mathrm{mod}p,2b\mathrm{mod}p)$

你需要回答$q$次询问，每次询问，给你$(a_i,b_i,c_i,d_i)$，问最少需要多少步才能将$(a_i,b_i)$变成$(c_i,d_i)$。如果不可行，则输出$-1$。

$p\le 10^9+7,1\le q\le 10^5,0\le a_i,b_i,c_i,d_i\le p-1,p\nmid (a_i+b_i)$

题解

设$t=a+b$，我们发现在操作时$t\mathrm{mod}p$是不变的。先判断$a+b$和$c+d$在$\mathrm{mod}p$的意义下是否相同，如果不同则无解。

如果相同，则$a=c,b=d$等价于$a=c$。一次操作中，$a$要么变成$2a$，要么变成$2a-t$。

所以$k$次操作后，$a$就会变成$2^{k}a-qt$，其中$q$可以为$[0,2^k)$中的任意值。显然$2^k\ge p$时一定有解。

所以我们只需要枚举$k$，判断$\frac{2^{k}a-c}{t}$在$\mathrm{mod}p$意义下是否$<2^k$即可。

时间复杂度为$O(q\log p)$。

code

#include
using namespace std;
int ans;
long long p,q,a,b,c,d,t;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%p;
	if(v&1) re=re*t%p;
	return re;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&p,&q);
	while(q--){
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
		t=(a+b)%p;
		if((a+b)%p!=(c+d)%p){
			printf("-1\n");continue;
		}
		long long v=1,ny=mi(t,p-2);
		for(ans=0;;v=v*2,ans++){
			long long tmp=a*v;
			if((tmp-c+p)%p*ny%p<v) break;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}