【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)

一、unordered系列关联式容器

在 C++98 中,STL 提供了底层为红黑树结构的一系列关联式容器,在查询时效率可达到 O(logN),即最差情况下需要比较红黑树的高度次,当树中的节点非常多时,查询效率也不理想。最好的查询是,进行很少的比较次数就能够将元素找到。

因此在 C++11 中,STL 又提供了 4 个 unordered 系列的关联式容器,这四个容器与红黑树结构的关联式容器使用方式基本类似,只是其底层结构不同,下面只对 unordered_map 和 unordered_set 进行介绍,unordered_multimap 和 unordered_multiset 的具体内容可查看文档介绍。

  • unordered 系列关联式容器,遍历出来不是有序的,迭代器是单向迭代器
  • unordered_map 和 unordered_set 不允许数据冗余,支持 [ ] 操作符。
  • unordered_multimap 和 unordered_multiset 允许数据冗余,不支持 [ ] 操作符。

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1、unordered_map

(1)unordered_map的介绍

unordered_map - C++ Reference (cplusplus.com)

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  1. unordered_map 是存储 键值对的关联式容器,其允许通过 key 快速的索引到与其对应的 value。
  2. 在 unordered_map 中,键值通常用于唯一地标识元素,而映射值是一个对象,其内容与此键关联。键和映射值的类型可能不同。
  3. 在内部,unordered_map 没有对 按照任何特定的顺序排序, 为了能在常数范围内找到 key 所对应的 value,unordered_map 将相同哈希值的键值对放在相同的桶中。
  4. unordered_map 容器通过 key 访问单个元素要比 map ,但它通常在遍历元素子集的范围迭代方面效率较低。
  5. unordered_maps 实现了直接访问操作符(operator[]),它允许使用 key 作为参数直接访问 value。
  6. 它的迭代器至少是前向迭代器

注意:unordered 系列的关联式容器之所以效率比较高,是因为其底层使用了哈希结构。在一般情况下,建议使用 unordered 系列的关联式容器。 


(2)unordered_map的接口说明
a. unordered_map的构造


b. unordered_map的容量
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c. unordered_map的迭代器
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d. unordered_map的元素访问

注意:该函数中实际调用哈希桶的插入操作,用参数 key 与 V() 构造一个默认值往底层哈希桶中插入,如果 key 不在哈希桶中,插入成功,返回 V();插入失败,说明 key 已经在哈希桶中,将 key 对应的 value 返回。


e. unordered_map的查询

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注意 unordered_map 中 key 是不能重复的,因此 count 函数的返回值最大为 1。

f. unordered_map的修改操作
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g. unordered_map的桶操作

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2、unordered_set

(1)unordered_set的介绍

unordered_set - C++ Reference (cplusplus.com)

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二、底层结构

unordered 系列的关联式容器之所以效率比较高,是因为其底层使用了哈希结构。

1、哈希概念 

顺序结构以及二叉平衡树中,元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系,因此在查找一个元素时,必须要经过关键码的多次比较。顺序查找时间复杂度为 O(N) 二叉平衡树中查找时间复杂度为树的高度 O(log₂ N) ,搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。
理想的搜索方法:可以不经过任何比较,一次直接从表中得到要搜索的元素。如果构造一种存储结构,通过某种函数(hashFunc)使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一一映射的关系,那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素。方便我们搜索。

【插入元素】

  • 根据待插入元素的关键码,用哈希函数计算出该元素的存储位置并按此位置进行存放。

【搜索元素】

  • 对元素的关键码进行同样的计算,把求得的函数值当做元素的存储位置,在结构中按此位置取元素比较,若关键码相等,则搜索成功。
该方式即为哈希(散列)方法,哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)函数构造出来的结构称 哈希表(Hash Table / 散列表)
例如:数据集合 {1,7,6,4,5,9}。
哈希函数设置为:hash(key) = key % capacity; capacity 为存储元素底层空间总的大小。

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用该方法进行搜索不必进行多次关键码的比较,因此搜索的速度比较快。

2、哈希冲突

对于两个数据元素的关键字 ki 和 kj (i != j),有 ki != kj,但有:Hash(ki) == Hash(kj)
即:不同关键字通过相同哈希哈数计算出相同的哈希地址,该种现象称为 哈希冲突 哈希碰撞 。把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为 “同义词”。

3、哈希函数

引起哈希冲突的一个原因可能是:哈希函数设计不够合理
哈希函数设计原则
  • 哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码,而如果散列表允许有 n 个地址时,其值域必须在 0 到 n-1 之间。
  • 哈希函数计算出来的地址均匀分布在整个空间中。
  • 哈希函数应该比较简单

常见哈希函数】 
1、直接定址法(常用)
取关键字的某个线性函数为散列地址:Hash(Key)= A*Key + B
  • 优点:简单、均匀。
  • 缺点:需要事先知道关键字的分布情况。
  • 使用场景:适合查找比较小且连续的情况。

比如:

  • 计数排序。
  • 一些 OJ 题中用哈希映射来统计字符出现次数。
  • 利用字符的 ASCII 码值来映射字符,利用 int 型变量的数值来映射该变量。

2、除留余数法(常用)
开一段固定大小的空间,比如哈希表中允许的地址数为 n,按照 哈希函数Hash(key) = key % n,得到的余数就是该关键码的哈希地址,存放到哈希表对应位置中。

缺陷

  • 适用于整数的存储(字符串、浮点数不能直接存储,因为不能直接取模)。
  • 余数相同时,会出现哈希冲突。

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3、平方取中法(了解)
假设关键字为 1234,对它平方就是 1522756,抽取中间的 3 位 227 作为哈希地址;
再比如关键字为 4321,对它平方就是 18671041,抽取中间的 3 位 671(或 710)作为哈希地址。
平方取中法比较适合:不知道关键字的分布,而位数又不是很大的情况。

4、折叠法(了解)
折叠法是将关键字从左到右分割成位数相等的几部分(最后一部分位数可以短些),然后将这几部分叠加求和,并按散列表表长取后几位作为散列地址
  • 折叠法适合事先不需要知道关键字的分布,适合关键字位数比较多的情况。

5、随机数法(了解)
选择一个随机函数,取关键字的随机函数值为它的哈希地址,即 H(key) = random(key),其中 random 为随机数函数
  • 通常应用于关键字长度不等时采用此法。

6、数学分析法(了解)
设有 n 个 d 位数,每一位可能有 r 种不同的符号,这 r 种不同的符号在各位上出现的频率不一定相同,可能在某些位上分布比较均匀,每种符号出现的机会均等,在某些位上分布不均匀只有某几种符号经常出现。可根据散列表的大小,选择其中各种符号分布均匀的若干位作为散列地址。例如:
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假设要存储某家公司员工登记表,如果用手机号作为关键字,那么极有可能前 7 位都是相同 的,那么我们可以选择后面的四位作为散列地址,如果这样的抽取工作还容易出现冲突,还可以对抽取出来的数字进行反转(如 1234 改成 4321)、右环位移(如 1234 改成 4123)、左环移位、前两数与后两数叠加(如 1234 改成 12+34=46)等方法。
  • 数字分析法通常适合处理关键字位数比较大的情况,如果事先知道关键字的分布且关键字的若干位分布较均匀的情况。
注意 :哈希函数设计的越精妙,产生哈希冲突的可能性就越低,但是无法避免哈希冲突

4、哈希冲突解决

解决哈希冲突两种常见的方法是:闭散列开散列


三、解决哈希冲突两种常见方法的介绍

1、闭散列

闭散列 :也叫开放定址法,当发生哈希冲突时,如果哈希表未被装满,说明在哈希表中必然还有空位置,那么可以把 key 存放到冲突位置中的 “下一个” 空位置中去。

核心思想】

通过哈希函数计算出这个数据对应的哈希位置,如果该位置出现了哈希冲突,我们就重新探测一个空闲位置,将其插入。

那如何重新探测新的位置呢?

当我们往散列表中插入数据时,如果某个数据经过散列函数散列之后,存储位置已经被占用了,我们就从当前位置开始,依次往后查找,看是否有空闲位置,直到找到为止。如果数组整个都没有空位置,这个时候就需要对数组进行扩容操作。

而我们要获取数据的时候就需要先 Hash 运算,然后得到下标后再去拿值,拿到值后要比对是不是要拿的数据,因为有可能 Hash 冲突了,此时的值并不是你想要的,如果是就直接取出,不是的话就需要重新遍历数组,直到找到对应的数。


(1)找下一个空位置
当前哈希位置已经存放了数据,下一个元素也是映射的这个位置,发生哈希冲突了,该怎么办呢?
  • 如果哈希表未被装满,说明在哈希表中必然还有空位置,那么可以把该元素存放到冲突位置的 “下一个空位置” 中去。
  • 如果整个数组都没有空位置了,这个时候就需要对数组进行扩容操作。

找下一个空位置有两种方法:线性探测二次线性探测


① 线性探测

线性探测:从发生冲突的位置开始,依次向后探测,直到寻找到下一个空位置为止。


【插入】
通过哈希函数获取待插入元素在哈希表中的位置。
如果该位置中没有元素则直接插入新元素,如果该位置中有元素发生哈希冲突,使用线性探测找到下一个空位置,插入新元素。
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hash(44) = 44%10 = 4

出现哈希冲突:哈希地址 4 已经存放了数据,从冲突位置开始往后找空位置。 


【删除】
采用 闭散列处理哈希冲突 时,不能随便物理删除哈希表中已有的元素,直接删除元素 会影响其他元素的搜索
比如删除元素 4,如果直接删除掉,44 查找起来可能会受影响。因此线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素
// 哈希表每个空间给个标记
// EMPTY此位置空, EXIST此位置已经有元素, DELETE元素已经删除
enum State{EMPTY, EXIST, DELETE};

【线性探测的实现】
// 注意:假如实现的哈希表中元素唯一,即key相同的元素不再进行插入
// 为了实现简单,此哈希表中我们将比较直接与元素绑定在一起
template
class HashTable
{
    struct Elem
    {   
        pair _val;
        State _state;
    };
    
public:
    HashTable(size_t capacity = 3)
        : _ht(capacity), _size(0)
    {
        for(size_t i = 0; i < capacity; ++i)
            _ht[i]._state = EMPTY;
    }
    
    bool Insert(const pair& val)
    {
        // 检测哈希表底层空间是否充足
        // _CheckCapacity();
        size_t hashAddr = HashFunc(key);
        // size_t startAddr = hashAddr;
        while(_ht[hashAddr]._state != EMPTY)
        {
            if(_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first == key)
                return false;
           
            hashAddr++;
            if(hashAddr == _ht.capacity())
                hashAddr = 0;
           /*
           // 转一圈也没有找到,注意:动态哈希表,该种情况可以不用考虑,哈希表中元素个数到达一定的数量,哈希冲突概率会增大,需要扩容来降低哈希冲突,因此哈希表中元素是不会存满的
           if(hashAddr == startAddr)
               return false;
           */
        }
       
        // 插入元素
        _ht[hashAddr]._state = EXIST;
        _ht[hashAddr]._val = val;
        _size++;
        return true;
    }
    int Find(const K& key)
    {
        size_t hashAddr = HashFunc(key);
        while(_ht[hashAddr]._state != EMPTY)
        {
            if(_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first == key)
                return hashAddr;
           
            hashAddr++;
        }
        return hashAddr;
    }
    bool Erase(const K& key)
    {
        int index = Find(key);
        if(-1 != index)
        {
            _ht[index]._state = DELETE;
            _size++;
            return true;
        }
        return false;
    }
    size_t Size()const;
    bool Empty() const;    
    void Swap(HashTable& ht);
private:
    size_t HashFunc(const K& key)
    {
        return key % _ht.capacity();
    }
private:
    vector _ht;
    size_t _size;
};
  • 线性探测优点:实现非常简单。
  • 线性探测缺点一旦发生哈希冲突,所有的冲突连在一起,容易产生数据“堆积”,即:不同关键码占据了可利用的空位置,使得寻找某关键码的位置需要许多次比较,导致搜索效率降低
如何缓解呢?

插入和查找的效率都会降低很多,插入元素时,从冲突位置开始不断往后找到下一个空位置;查找元素时,从冲突位置开始不断往后找,需要比较许多次,导致搜索效率降低。最坏情况下要直到找到空位置时,才能说明没有该元素。

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② 二次探测

线性探测的缺陷是产生冲突的数据堆积在一块,这与其找下一个空位置有关系,因为找空位置的方式就是挨着往后逐个去找,因此二次探测为了避免该问题,找下一个空位置的方法为:Hash(key) = key % n + i² ( i = 1,2,3… )

通过哈希函数 Hash(key) 计算出元素的关键码 key 对应的位置再加上 i 的平方,n 是表的大小。

二次探测相比线性探测的好处

如果一个位置有很多数据冲突,那么二次探测会让这些数据存储位置会比较分散,不会集中在一起,导致一片一片的冲突。

如果上面要插入 44,产生冲突,使用解决后的情况为:

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研究表明:当表的长度为质数且表装载因子 a 不超过 0.5 时,新的表项一定能够插入,而且任 何一个位置都不会被探查两次。
因此只要表中有一半的空位置,就不会存在表满的问题。在 搜索时可以不考虑表装满的情况,但在插入时必须确保表的装载因子 a 不超过 0.5,如果超出必须考虑增容。
因此:比散列最大的缺陷就是 空间利用率比较低 ,这也是哈希的缺陷。

【二次探测相比线性探测的好处】

如果一个位置有很多数据冲突,那么二次探测会让这些数据存储位置会比较分散,不会集中在一起,导致一片一片的冲突。


【插入】 

如果要插入 333 和 33,产生冲突,分别使用线性探测和二次探测,解决后的情况为: 【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第15张图片


【闭散列的实现】 

哈希表就是数组,只不过是按照某种映射关系把元素存放进去的数组。

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1、如何向哈希表中插入元素?

先检查哈希表是否需要扩容(表为空或表的负载因子超过某个值,则进行扩容)。
再通过哈希函数计算出待插入元素在哈希表中的位置:

  • 如果该位置有元素(即存储状态为:EXIST),说明发生了哈希冲突,使用线性探测(或二次探测)找到下一个空位置,然后插入新元素;
  • 如果该位置中没有元素(即存储状态为: EMPTY / DELETE),则直接插入新元素。

2、如何在哈希表中查找元素?

先检查哈希表是否为空:

  1. 若为空,查找失败,直接返回 nullptr,再通过哈希函数计算出要查找元素在哈希表中对应的位置。
  2. 如果该位置不为空(即存储状态为:EXIST / DELETE),开始往后查找,直到遇到空位置才停止(如果遇到空位置都还没查找到,说明哈希表中没有该元素),查找过程中,如果当前位置存储状态为存在,则判断是不是要查找的元素:
  • 如果是,查找成功,返回该元素的地址;
  • 如果不是,继续往后找。

如果该位置为空(即存储状态为:EMPTY),返回 nullptr。


3、如何表示哈希表中某个位置是否存放的有元素
肯定不能用 0 / -1 来表示,万一需要存放的数据就有 0 / -1 呢?

哈希表中每个位置存储数据的同时,再存储一个状态标记,表示该位置的存储状态(空、存在、删除)


4、如何删除哈希表中某个位置的元素?

采用闭散列处理哈希冲突时,不能随便物理删除哈希表中已有的元素,若直接删除元素会影响其他元素的搜索。

如上图:直接删除掉了元素 333,那么元素 44 查找起来就会受影响(因为哈希位置 4 此时为空),导致查找不到,所以用线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素。哈希表中每个位置存储数据的同时,再存储一个状态标记,表示该位置的存储状态(空、存在、删除)


【思考1】因为哈希函数采用的是除留余数法,被模的 key 必须要为整型才可以处理,导致闭散列只能存储 key 为整型的元素,其他类型怎么解决?

如果 key 是 string 类型或其它自定义类型,不能直接取模来计算出它的位置,我们就传一个对应的仿函数,来将其转换成整型。

// 定义一个默认仿函数类(针对size_t类型和能够隐式类型转换成size_t的类型)
template
struct HashFunc
{
    // key: 元素关键码
    // 如果key是整数,转换成size_t,然后返回key
    // 如果key是浮点数,隐式类型转换成size_t,然后返回key
    size_t operator()(const K& key)
    {
        return key;
    }
};

// 定义仿函数类(专门针对元素关键码是string类型的,将其转换成可以取模的size_t类型)
struct HashFuncString
{
    size_t operator()(const string& key)
    {
        // 方法一:每个字符的ASCII码值加起来
        // 缺陷:不同字符串可能加出同样的结果,无法保证key的唯一性
        size_t hash_key = 0;
        for (size_t i = 0; i < key.size(); i++)
        {
            hash_key += key[i];
        }
        return hash_key;
    }
};

【思考2】unordered 系列容器底层就是哈希表,但我们用的时候也并没有传仿函数。因为 string 类型作为元素关键码 key 很常见,我们也不可能每次都去写一个仿函数。那是如何做到的呢?

写一个针对 string 类型取模的特化版本仿函数。

// 默认仿函数类(针对size_t类型和能够隐式类型转换成size_t的类型)
template
struct HashFunc
{
    size_t operator()(const K& key)
    {
        return key;
    }
};

// 特化仿函数(把string类型转换成可以取模的size_t类型)
template<>
struct HashFunc
{
    size_t operator()(const string& key)
    {
		size_t hash_key = 0;
		for (size_t i = 0; i < key.size(); i++)
		{
            hash_key *= 131;
			hash_key += key[i];
		}
		return hash_key;
    }
};

【闭散列的结构(KV模型)】 
// 闭散列
namespace close_hash
{
	// 标记哈希表中某个位置的存储状态
	enum Status
	{
		EMPTY,   // 此位置空
		EXIST,   // 此位置已有元素
		DELETE   // 此位置元素已被删除
	};

	// 定义哈希表中元素的结构
	template
	struct HashData
	{
		pair _kv;         // 键值对
		Status _status = EMPTY; // 存储状态标记,默认为空
	};
    
    // 仿函数(解决哈希函数采用除留余数法时,将不能取模的类型转换成可以取模的size_t类型)
    // 默认仿函数类
    template
	struct HashFunc
    {
        // 针对size_t类型和能够隐式类型转换成size_t的类型
        size_t operator()(const K& key)
        {
            return key;
        }
    };

    // 特化仿函数
    template<>
    struct HashFunc
    {
        // 把string类型转换成可以取模的size_t类型
        size_t operator()(const string& key)
        {
            size_t hash_key = 0;
            for (size_t i = 0; i < key.size(); i++)
            {
                hash_key *= 131;
                hash_key += key[i];
            }
            return hash_key;
        }
    };
    
	// 定义哈希表(KV模型)
	// Hash = HashFunc:仿函数,给一个默认的仿函数
	template>
	class HashTable
	{
	public:
		// 构造、拷贝构造、赋值重载、析构都不需要写,调用vector的就行了
        HashData* Find(const K& key); // 查找元素
        bool Insert(const pair& kv);  // 插入元素
        bool Erase(const K& key);           // 删除元素		
	private:
		vector> _tables; // 哈希表
		size_t _n = 0;                  // 存储的有效元素个数,默认为0
		
        // 注意:因为元素不是挨着挨着存的,所以需要一个变量去表示有效元素个数
	};
}

【查找元素】

这里写了线性探测 / 二次探测两个版本。

HashData* Find(const K& key)
{
    // 先检查哈希表是否为空
    if (_tables.size() == 0) // 说明查找失败
    {
        return nullptr;
    }

    // 1、先通过哈希函数计算出要查找元素在哈希表中对应的位置
    size_t start = Hash()(key) % _tables.size();
    size_t i = 0;
    size_t index = start;

    // 2、该位置不为空
    while (_tables[index]._status != EMPTY)
    {
        /* 
        * 当前位置存储状态为存在,才去判断当前位置是不是要查找的元素。为什么呢?
		* 因为我们采用标记的伪删除法来删除一个元素,并没有清除元素的关键码,所以还可以被查找到
		*/
        if (_tables[index]._status == EXIST && key == _tables[index]._kv.first)
        {
            return &_tables[index]; // 返回该元素的地址
        }

        i++;
        index = start + i;        // 线性探测
        // index = start + i * i; // 二次探测

        index %= _tables.size(); // 如果超出表尾了,又从表头继续开始找
    }
    // 3、该位置为空
    return nullptr;
}

 【插入元素】
1、为什么要严格控制闭散列中的元素数量呢?
  1. 如果元素数量太多,插入元素时很容易发生哈希冲突。
  2. 如果元素数量太多,又存在哈希冲突,就会导致插入和查找的效率大幅度降低。
  3. 因为查找元素最坏要查找到空位置时才能停止,所以闭散列是不能存满的,如果存满了,就没有空位置了,当查找的元素又不在闭散列中时,就会陷入死循环。

所以,当闭散列中的元素数量达到一定程度时,就必须要扩容,降低哈希冲突的概率,提高性能。


2、哈希表什么情况下进行扩容?如何扩容?

这里需要引入一个概念:

【负载因子】

【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第17张图片

  • 负载因子越大,表明填入表中的元素越多,发生哈希冲突的可能性越大,空间浪费少。
  • 负载因子越小,表明填入表中的元素越少,发生哈希冲突的可能性越小,空间浪费多。 
void CheckCapacity()
{
    if(_size * 10 / _ht.capacity() >= 7)
    {
        HashTable newHt(GetNextPrime(ht.capacity));
        for(size_t i = 0; i < _ht.capacity(); ++i)
        {
            if(_ht[i]._state == EXIST)
                newHt.Insert(_ht[i]._val);
        }
        Swap(newHt);
    }
}

比如闭散列的容量是10,负载因子是 0.7,10 * 0.7 = 7,也就是说,当容量超过 7 的时候就会进行扩容操作。


【注意 1】

如果当前的闭散列容量是 10,表中有 n 个元素,如何判断当前闭散列的负载因子是否超过 0.7 了:

  • 不能直接这样写:if (n / 10 >= 0.7),两个整数相除等于 0,无法判断。
  • 正确写法,强转成double:if ((double)(n / 10) >= 0.7),同乘10: if (n * 10 / 10 >= 7)

【注意 2】

如果有重复元素,会导致闭散列中不同的位置中存放着相同的关键码,那么将会引起歧义。该如何防止数据冗余呢?

插入前先 Find(key) 查找一下,判断待插入元素是否已经存在表中,如果存在,就不要再插入了。

【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第18张图片

bool Insert(const pair& kv)
{
    // 防止数据冗余
    if (Find(kv.first) != nullptr)
    {
        return false; // 若待插入元素的关键码已存在表中,则插入失败
    }

    // 1、如果表为空或表的负载因子>=0.7,那么需要检查哈希表是否需要扩容
    if (_tables.size() == 0 || _n * 10 / _tables.size() >= 7) // 注意
    {
        // 计算新容量(按2倍扩容)
        size_t new_size = _tables.size() == 0 ? 10 : _tables.size() * 2;

        // 开始扩容
        // 定义一个新的哈希表(局部变量)
        HashTable new_hash_table;
        new_hash_table._tables.resize(new_size); // 更改新表容量

        // 遍历旧表中的所有元素,重新计算它在新表中的位置,一一插入到新表中
        for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++)
        {
            if (_tables[i]._status == EXIST) // EXIST: 此位置已有元素
            {
                new_hash_table.Insert(_tables[i]._kv); // 递归调用Insert,复用代码
            }
        }

        // 交换新表和旧表的内容(即交换新旧表vector的内容)
        _tables.swap(new_hash_table._tables);
    }

    // 2、再通过哈希函数计算出待插入元素在哈希表中的位置
	// 这里要模size(),不能模capacity(),因为vector中能存放元素的个数为size()
    size_t start = Hash()(kv.first) % _tables.size();
    size_t i = 0;
    size_t index = start;

    // 3、该位置有元素,说明发生了哈希冲突,则使用线性检测找到下一个空位置
    while (_tables[index]._status == EXIST) // EXIST: 表示该位置已经有元素
    {
        i++; // 往后找
        index = start + i;        // 线性探测
        // index = start + i * i; // 二次探测

        // 如果超出表尾了,又从表头继续开始找
        index %= _tables.size();
    }

    // 4、该位置没有元素则直接插入
    _tables[index]._kv = kv;
    _tables[index]._status = EXIST; // 标记该位置的存储状态:存在
    _n++;                           // 有效元素个数+1

    // 5、插入成功,返回true
    return true;
}

【测试】插入元素过程中,分别用线性探测和二次探测来找下一个空位置。 

【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第19张图片


【删除元素】
// 删除元素
bool Erase(const K& key)
{
    // 查找,判断该元素是否在表中
    HashData* ret = Find(key);

    // 待删除元素的关键码不在表中
    if(ret == nullptr)
    {
        return false;
    }

    // 待删除元素的关键码在表中
    ret->_status = DELETE; // 伪删除,标记该位置的存储状态为:删除
    _n--;                  // 有效元素个数-1

    return true;
}

【闭散列的效率】

从上面可以明显的看出来开发寻址法并不是一种好的方案。

最好的情况时,时间复杂度为 O(1),而最坏的情况时就需要遍历整个数组从而时间复杂度退化为 O(n),平均时间复杂度为 O(1)。


2、开散列

(1)开散列概念
开散列法又叫哈希桶、链地址法, 首先对关键码集合用散列函数计算散列地址具有相同地址的关键码归于同一子集合 每一个子集合称为一个桶 ,各个桶中的元素通过一个单链表链 接起来,各链表的头结点存储在哈希表中。

我们获取数据的时候只需要 Hash 运算后拿到下标,然后拿到链表比对是否为获取的数据即可,看起来好像复杂度和开放寻址法也差不多。但其实不然,首先 Hash 冲突并不是每次都会发生,其次因为会不断的进行动态扩容,所以碰撞的几率会减少,所以冲突的链表并不会像开放寻址法的数组那样长。

【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第20张图片【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第21张图片 

从上图可以看出,开散列中每个桶中放的都是发生哈希冲突的元素。 


(2)开散列实现
开散列的结构(KV模型)】
【思考】因为哈希函数采用的是除留余数法,被模的 key 必须要为整型才可以进行处理,导致开散列只能存储 key 为整型的元素,那么其他类型怎么解决?

如果 key 是 string 类型或者是其它的自定义类型,那么通过传对应的仿函数,将不能取模的类型转换成可以取模的 size_t 类型。

namespace hash_bucket
{
	// 定义哈希表节点结构(KV模型)
	template
	struct HashNode
	{
		pair _kv;        // 数据域:键值对
		HashNode* _next; // 后继指针

		// 构造函数
		HashNode(const pair& kv)
			: _kv(kv)
			, _next(nullptr)
		{}
	};

    // 仿函数(解决哈希函数采用除留余数法时,将不能取模的类型转换成可以取模的size_t类型)
    // 默认仿函数类
    template
	struct HashFunc
    {
        // 针对size_t类型和能够隐式类型转换成size_t的类型
        size_t operator()(const K& key)
        {
            return key;
        }
    };

    // 特化仿函数
    template<>
    struct HashFunc
    {
        // 把string类型转换成可以取模的size_t类型
        size_t operator()(const string& key)
        {
            size_t hash_key = 0;
            for (size_t i = 0; i < key.size(); i++)
            {
                hash_key *= 131;
                hash_key += key[i];
            }
            return hash_key;
        }
    };
    
	// 定义哈希表结构(KV模型)
	// Hash = HashFunc:仿函数,给一个默认的仿函数
	template>
	{
		typedef HashNode Node;

	public:
		// 构造、拷贝构造、赋值重载需要自己写,因为这里是哈希桶结构
        // ...
		~HashTable() // 析构函数
		{
			// 遍历哈希表,找到不为空的哈希桶
			for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++)
			{
				Node* cur = _tables[i];
				while (cur) // 哈希桶不为空,释放哈希桶中的所有节点
				{
					Node* next = cur->_next; // 记录cur指向节点的下一个节点
					delete cur;              // 释放节点
					cur = next;              // 继续去释放下一个节点
				}
				_tables[i] = nullptr;
			}
			_n = 0;
		}

        Node* Find(const K& key);          // 查找节点
        bool Insert(const pair& kv); // 插入节点
        bool Erase(const K& key);          // 删除节点

    private:
		vector _tables; // 哈希表存储各链表的头结点地址
		size_t _n = 0;         // 哈希表中有效节点的个数,缺省为0
    };
}

【查找节点】

开散列的搜索效率由桶的长度决定,桶的长度短,效率就

查找节点思路

  • 先检查哈希表是否为空,若为空,直接返回 nullptr。
  • 通过哈希函数计算出该元素映射的哈希桶的位置,然后遍历该哈希桶,查找节点,若找到,返回节点地址;若没找到,返回空。
Node* Find(const K& key)
{
    // 1、先检查哈希表是否为空
    if (_tables.size() == 0)
    {
        return nullptr;
    }

    // 2、再通过哈希函数计算出该元素所映射的位置(即映射的哈希桶位置)
    size_t index = Hash()(key) % _tables.size();

    // 3、遍历该哈希桶,查找节点
    Node* cur = _tables[index]; // cur指向该哈希桶
    while (cur)                 // 遍历该哈希桶的所有节点
    {
        if (key == cur->_kv.first)
        {
            return cur; // 找到了,返回节点地址
        }
        cur = cur->_next;
    }

    // 4、没找到,返回空
    return nullptr;
}

 【插入节点】
1、负载因子

哈希桶一般是把负载因子控制在 1 以内(平均每个位置下面挂了一个节点),等于 1 就要扩容了。


2、开散列扩容

桶的个数是一定的,随着元素的不断插入,每个桶中元素的个数不断增多,极端情况下,可能会导致一个桶中链表节点非常多,会影响的哈希表的性能,因此在一定条件下需要对哈希表进行增容,那该条件怎么确认呢?

开散列最好的情况是:每个哈希桶中刚好挂一个节点,再继续插入元素时,每一次都会发生哈希冲突。因此,当元素个数刚好等于桶的个数时,可以给哈希表增容。

思路:

  • 先检查哈希表是否需要扩容:表为空或者负载因子为 1。

    • 扩容时,需要把旧表的所有节点转移到新表中,然后再交换新表和旧表
  • 再通过哈希函数计算出待插入节点映射的哈希桶的位置。

  • 检查该哈希桶中是否存在该节点:

    • 不存在,则进行头插
    • 存在,不允许数据冗余,插入失败。 

【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第22张图片

【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第23张图片

【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第24张图片

bool Insert(const pair& kv)
{
    // 1、先检查哈希表是否需要扩容:表为空或者负载因子超过1
    if (_n == _tables.size())
    {
        // 计算新容量(按2倍扩)
        size_t newSize = _tables.size() == 0 ? 10 : _tables.size() * 2;
        // 计算新容量(素数大小,按近似2倍扩)
        // size_t newSize = GetNextPrime(_tables.size());

        // 开始扩容
        // 创建一个新表(局部变量)
        vector newTables;
        newTables.resize(newSize);

        /* 
        * 遍历完旧表中的所有节点,重新计算它在新表中的位置,转移到新表中
		* 这里是把旧表的节点转移到新表中,而不是构造新的节点插入到新表中
		*/
        for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++)
        {
            Node* cur = _tables[i]; // cur当前指向的哈希桶

            // 哈希桶不为空,开始转移哈希桶中的节点
            while (cur != nullptr)
            {
                // 保存cur指向节点的下一个节点
                Node* next = cur->_next;

                // 重新计算cur指向的旧表节点,映射到新表中的位置
                size_t index = Hash()(cur->_kv.first) % newSize;

                // 把cur指向的旧表节点,转移到新表中
                cur->_next = newTables[index];
                newTables[index] = cur;

                // 继续转移下一个旧表节点
                cur = next;
            }
            // 节点转移完毕,把当前哈希桶置空
            _tables[i] = nullptr;
        }
        // 旧表所有节点全部转移到新表中了,交换新表与旧表
        _tables.swap(newTables);
    }

    // 2、再通过哈希函数计算出待插入元素映射的哈希桶的位置
    size_t index = Hash()(kv.first) % _tables.size();

    // 3、插入节点到该位置的哈希桶中
    // (1)先检查哈希桶中是否存在重复节点(因为不允许数据冗余)
    Node* cur = _tables[index]; // cur指向哈希桶的第一个节点
    while (cur)                 
    {
        if (kv.first == cur->_kv.first)
        {
            return false; // 存在重复节点,插入失败
        }

        cur = cur->_next;
    }

    // (2)开始头插
    Node* newNode = new Node(kv);    // 申请新节点
    newNode->_next = _tables[index]; // 头插
    _tables[index] = newNode;
    _n++;                            // 有效节点个数+1

    // (3)插入成功
    return true;
}

(3)开散列的思考
1、只能存储key为整形的元素,其他类型怎么解决?
// 哈希函数采用处理余数法,被模的key必须要为整形才可以处理,此处提供将key转化为
整形的方法
// 整形数据不需要转化
template
class DefHashF
{
public:
    size_t operator()(const T& val)
    {
        return val;
    }
};

// key为字符串类型,需要将其转化为整形
class Str2Int
{
public:
    size_t operator()(const string& s)
    {
        const char* str = s.c_str();
        unsigned int seed = 131; // 31 131 1313 13131 131313
        unsigned int hash = 0;
        while (*str)
        {
            hash = hash * seed + (*str++);
        }
        return (hash & 0x7FFFFFFF);
    }
};

// 为了实现简单,此哈希表中我们将比较直接与元素绑定在一起
template
class HashBucket
{
    // ...
private:
    size_t HashFunc(const V& data)
    {
        return HF()(data.first)%_ht.capacity();
    }
};

2、除留余数法,最好模一个素数,如何每次快速取一个类似两倍关系的素数?

哈希表每次扩容时,调用 GetNextPrime(_tables.size()) 获取下一个素数,既保证了表的大小是一个素数,而且还达到了近似2倍的扩容,还保证了计算哈希位置时是模一个素数。

// 素数表,放了经过筛选的28个素数
size_t GetNextPrime(size_t prime)
{
    const int PRIMECOUNT = 28;
    static const size_t primeList[PRIMECOUNT] =
    {
        53ul, 97ul, 193ul, 389ul, 769ul,
        1543ul, 3079ul, 6151ul, 12289ul, 24593ul,
        49157ul, 98317ul, 196613ul, 393241ul, 786433ul,
        1572869ul, 3145739ul, 6291469ul, 12582917ul, 25165843ul,
        50331653ul, 100663319ul, 201326611ul, 402653189ul, 805306457ul,
        1610612741ul, 3221225473ul, 4294967291ul
    };

    size_t i = 0;
    for (; i < PRIMECOUNT; ++i)
    {
        if (primeList[i] > prime)
            return primeList[i];
    }
    return primeList[i];
}

【补充】ul: unsigned long


3、扩容问题

哈希桶一般是把负载因子控制在 1 以内(平均每个位置下面挂了一个节点),等于 1 就要扩容了。

如果出现极端情况,所有节点都挂在了哈希表中的一个桶下面,导致链表越来越长,这将会极大影响查找节点和删除节点的效率,插入节点的效率倒不影响,因为是头插。

【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第25张图片

如何解决呢?当链表长度达到一定长度的时候,就会把链表转化为红黑树

但 C++ 库里面暂时没有这样做,Java 的 HashMap 使用的是这种方案,原因就是因为红黑树查询的时间复杂度是比链表要快的(JDK 中每个桶默认超过 8 个就会转成红黑树)。

【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第26张图片


【删除节点】

思路

  • 先判断哈希表是否为空,若为空,则删除失败。
  • 再通过哈希函数计算出待删除节点对应的哈希桶的位置。
  • 遍历该哈希桶,查找待删除节点和它的前驱节点。
    • 若找到,判断是头节点还是非头节点,好确定删除方式;
    • 若没找到,则删除失败。

【C++】哈希 Hash(闭散列、开散列介绍及其实现)_第27张图片

// 删除节点
bool Erase(const K& key)
{
    // 1、先判断哈希表是否为空
    if (_tables.size() == 0)
    {
        return false; // 表为空,删除失败
    }

    // 2、通过哈希函数计算出待删除节点所映射哈希桶的位置
    size_t index = Hash()(key) % _tables.size();

    // 3、遍历该哈希桶,查找待删除节点,以及它的前驱节点
    Node* cur = _tables[index];
    Node* prev = nullptr;
    while (cur)
    {
        if (key == cur->_kv.first) // 找到该节点了
        {
            if (cur == _tables[index]) // cur是头节点,进行头删
            {
                _tables[index] = cur->_next;
            }
            else // cur不是头节点
            {
                prev->_next = cur->_next;
            }

            delete cur;
            cur = nullptr;
            _n--; // 有效节点个数-1

            return true;
        }
        prev = cur;
        cur = cur->_next;
    }
    return false;
}

【开散列的效率】

开散列每次扩容 2 倍,或者一个素数的大小,都是为了减少 Hash 冲突,而减少 Hash 冲突的原因就是让时间复杂度降低到 O(1),因为一旦 Hash 冲突,时间复杂度可能就不在是 O(1)。


(4)开散列与闭散列比较
  应用链地址法处理溢出,需要增设链接指针,似乎增加了存储开销。
事实上,由于开地址法必须保持大量的空闲空间以确保搜索效率,如二次探查法要求装载因子a <= 0.7,而表项所占空间又比指针大的多,所以使用链地址法反而比开地址法节省存储空间。 

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