matlab中asix off_matlab第六章数据分析与多项式计算

MATLAB练习

第六章数据分析与多项式计算

1、max和min

1、分别求矩阵A中各列和各行元素中的最大值。max和min的用法一样

% 【例6.1】分别求矩阵中各列和各行元素中的最大值。

A=[54,86,453,45;90,32,64,54;-23,12,71,18];

y1=max(A); %求矩阵A中各列元素的最大值

y2=max(A,[],2) %求矩阵A中各行元素的最大值

​

y2 =

​

453

90

71

​

>> y1

​

y1 =

​

90 86 453 54

2、求矩阵X、Y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。

>> X=[443,45,43;67,34,-43];

>> Y=[65,73,34;61,84,326];

>> p=max(X,Y);%两矩阵元素的同一位置比较，返回最大值

p =

443 45 45

67 45 45

3、将矩阵A的元素与常数x比较，返回较大的元素，构成同A阶数相同的矩阵，元素取

>> x=45;

>> p=max(A,x);

p =

443 45 45

67 45 45

2、求和sum(A)和sum(X,dim)、求积prod用发同sum

求矩阵A的每行元素之和和全部元素之和。

>> A=[9,10,11,12;100,200,300,400;50,60,50,60];

>> S=sum(A,2) %求A每行元素的和

S =

42

1000

220

>> p=sum(A) %求A的全部元素之和

P =

1262

​

3、求平均值和中值

求平均数格式：

M=mean(X);    X:向量或者矩阵

M=mean(A,dim);  dim=1或2(行)

求中值格式：

M=median(X);    X:向量或者矩阵

M=median(A,dim);  dim=1或2(列)

例如，求向量x = [-8，2，4，7，9]与y = [-8，2，4，7，9，15]的平均值和中值。

>> x=[-8,2,4,7,9]; % 奇数个元素

>> mx=[mean(x),median(x)]

mx =

2.8000 4.0000

>> y=[-8,2,4,7,9,15]; % 偶数个元素

>> my=[mean(y), median(y)]

my =

4.8333 5.5000

4、求累加和与累乘积

累加格式：

B = cumsum(X)；      X：向量或矩阵

B = cumsum(X,dim)：  dim：1或2(列)

累乘积用法同累加和

B = cumprod(X)；      X：向量或矩阵

B = cumprod(X,dim)：  dim：1或2(列)

列【例6.4】求S=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+10)的值。

>> y=cumsum(1:10)

y =

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

>> s=sum(y)

s =

220

5、统计描述函数

1、标准差

调用格式

s = std(X , w, dim)   X矩阵或者行向量，w：用于指定标准差的计算方法；w=0或1 dim=1或2(求行元素标准差)

某次射击选拔比赛中小明与小华的10次射击成绩(单位：环)如表6.1所示，试比较两人的成绩。

小明：7,4,9,8,10,7,8,7,8,7

小华：7,6,10,5,9,8,10,9,5,6

>> hitmark=[7,4,9,8,10,7,8,7,8,7;7,6,10,5,9,8,10,9,5,6];

>> mean(hitmark,2)； %按行求平均值，返回一个列向量

ans =

7.5000

7.5000

>> std(hitmark,[],2)；按行求标准差，返回一个列向量

ans =

1.5811

1.9579

注意：标准差越小，成绩波动越小

2、方差

var函数的调用格式为

V = var(X, w, dim)    x：向量或者矩阵   w用于指定权重方案(为0:或为1)   dim=1(求各列方差)或2

​

考察一台机器的产品质量，判定机器工作是否正常。根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。假设搜集的数据如表6.2所示，问此时的机器是否必须关闭？

>> samples=[3.43,3.45,3.43,3.48,3.52,3.50,3.39,3.48,3.41,3.38,3.49,3.45,3.51,3.50];

>>var_samples=var(samples);

var_samples =

0.0021

3、相关系数

[R,P]=corrcoef(X,Y)：     %R：相关系数矩阵，p:p值矩阵     X和我Y：

矩阵返回相关系数矩阵和p值矩阵。如果得到的p值矩阵的非对角线元素小于显著性水平(即90%置信区间，默认为 0.05)，则R中的相应相关性被视为显著

[R,P]=corrcoef(X)

【例6.7】随机抽取15名健康成人，测定血液的凝血酶浓度及凝血时间，数据如表6.3所示。分析凝血酶浓度与凝血时间之间的相关性。

>> density=[1.1,1.2,1.0,0.9,1.2,1.1,0.9,0.6,1.0,0.9,1.1,0.9,1.1,1,0.7]; %凝血酶浓度

>> cruortime=[14,13,15,15,13,14,16,17,14,16,15,16,14,15,17]; %凝血时间

>> [R,P]=corrcosf(density,cruortime)

R =

1.0000 -0.9265

-0.9265 1.0000

注意;R的绝对值接近1，说明相关程度高

4、协方差

C = cov(x)：

C = cov(x,y)

随机抽取15名健康成人，测定血液的凝血酶浓度及凝血时间，数据如表6.3所示。分析凝血酶浓度与凝血时间之间的相关性

>> density=[1.1,1.2,1.0,0.9,1.2,1.1,0.9,0.6,1.0,0.9,1.1,0.9,1.1,1,0.7];

>> cruortime=[14,13,15,15,13,14,16,17,14,16,15,16,14,15,17];

>> C=cov(density,cruortime)

C =

0.0289 -0.2014

-0.2014 1.6381

​

注意：如果两个变量的协方差是正值，说明两者是正相关的，即两个变量的变化趋势一致；如果协方差为负值，则说明两者是负相关的，即两个变量的变化趋势相反；如果协方差为0，说明两者之间没有关系

​

6排序

[Y,I]=sort(X, dim, mode)   Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在X中的位置，mode指明排序的方法，'ascend'(默认值)为升序，'descend'为降序

6.8】对二维矩阵A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];做各种排序

>> A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];

>> Y=sort(A,2,'descend') %对A的每行按降序排序

Y =

5 1 -8

12 6 4

13 7 -13

>> [X,I]=sort(A) %对A的每列按升序排序，矩阵I存储X各元素在A对应列中的行号

X =

1 -8 -13

4 7 5

13 12 6

I =

1 1 3

2 3 1

3 2 2

​

​

6.2多项式计算

6.2.1多项式的四则运算

1、多项式的加减运算

计算

>> a=[1,-2,5,3];

>> b=[0,0,6,-1];

>> c=a+b

c =

1 -2 11

2、多项式的乘除

w = conv(P1,P2)

[Q,r] = deconv(P1,P2)

P1、P2是两个多项式的系数向量

w是两个多项式相乘所得r

如果多项式

​

>> A=[1,8,0,0,-10];

>> B=[2,-1,3];

>> C=conv(A,B)

C =

2 15 -5 24 -20 10 -30

>> [P,r]=deconv(A,B)

P =

0.5000 4.2500 1.3750

r =

0 0 0 -11.3750 -14.1250

以下命令验证deconv和conv是互逆的。

>> conv(B,P)+r

ans =

1 8 0 0 -10

6.2.2多项式求导

k=polyder(P)：求多项式P的导数，即

k=polyder(P,Q)：求P·Q的导数，即

[q,d]=polyder(P,Q)：求P/Q的导数

​

>> P=[1];

>> Q=[1,0,5];

>> [p,q]=polyder(P,Q)

p =

-2 0

q =

1 0 10 0 25

6.2.3多项式的求值

1、代数多项式求值

y = polyval(p,x)   p是多项式系数向量。 x：标量，向量，矩阵

​

【例6.11】已知多项式x4 + 8x3 - 10，分别取x = 1.2和一个2 × 4矩阵为自变量计算该多项式的值。

​

>> A=[1,8,0,0,-10]; % 4次多项式系数

>> x=1.2; % 取自变量为一数值

>> y1=polyval(A,x)

y1 =

5.8976

>> x=randi(9,2,4) %randi(imax,m,n)函数：生成一组值在[1, imax]区间均匀分布的随机整数，构建m × n矩阵

x =

8 2 6 3

9 9 1 5

>> y2=polyval(A,x) % 分别计算矩阵x中各元素为自变量的多项式之值

y2 =

8182 70 3014 287

12383 12383 -1 1615​

​

2、矩阵多项式求值

polyval(P,A);   A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))

​

polyvalm(P,A)  的含义为 A：方阵   A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))

​

​

以多项式x4 + 8x3 -10为例，取一个2 × 2矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。

>> A=[1,8,0,0,-10]; % 多项式系数

>> x=[-1,1.2; 2,-1.8]; % 给出一个矩阵x

>> y1=polyval(A,x) % 计算代数多项式的值

y1 =

-17.0000 5.8976

70.0000 -46.1584

>> y2=polyvalm(A,x) % 计算矩阵多项式的值

y2 =

-60.5840 50.6496

84.4160 -94.3504

6.2.4多项式的求根

x=roots(P)    P为多项式的系数向量

​

【例6.13】已知

(1)计算f(x) = 0的全部根。

(2)由方程f(x) = 0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。

​

>> P=[2,-12,3,0,5];

>> X=roots(P) %求方程f(x)=0的根

X =

5.7246 + 0.0000i

0.8997 + 0.0000i

-0.3122 + 0.6229i

-0.3122 - 0.6229i

>> G=poly(X) %求多项式g(x)

G =

1.0000 -6.0000 1.5000 -0.0000 2.5000

6.2.5多项式的除法变换

[r,p,k] = residue(b,a)

[b,a] = residue(r,p,k)

a、b 分别为分式的分母多项式、分子多项式的系数向量，r是分数多项式的商式的系数向量，p为分数多项式的极点，k为分数多项式的余式的系数向量

【例6.14】已知

(1)将f(x)进行分式分解。

(2)由分解的分式合成g(x)，并与f(x)进行对比。

​

>> b = [5 3 2 7]; %分子系数

>> a = [-4 0 8 3]; %分母系数

>> [r, p, k] = residue(b,a) %r分数多项式的商式系数向量

r =

-1.4167

-0.6653

1.3320

p = %p为分数多项式的极点

1.5737

-1.1644

-0.4093

k =

-1.2500

>> [b,a] = residue(r,p,k)

b =

-1.2500 -0.7500 0.5000 -1.7500

a =

1.0000 -0.0000 -2.0000 -0.7500

6.3数据插值

6.3.1一维数据插值

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)

x、v是两个等长的已知向量，分别存储采样点和采样值。若同一个采样点有多种采样值，则v可以为矩阵，v的每一列对应一种采样值。

输入参数xq存储插值点，输出参数vq是一个列的长度与xq相同、宽度与v相同的矩阵。

选项method用于指定插值方法,可取值如下。

‘linear’(默认值)：线性插值。

‘pchip’：分段3次埃尔米特插值

‘spline’：3次样条插值

‘ nearest’：最近邻点插值

‘next’：取最后一个采样点的值作为插值点的值

'previous'：取前一个采样点的值作为插值点的值

标量：设置域外点的返回值

​

【例6.15】表6.4所示为我国0~6个月婴儿的体重、身长参考标准，用3次样条插值分别求得婴儿出生后半个月到5个半月每隔1个月的身长、体重参考值。

>> tp=0:1:6; %采样点

>> bb=[50.6,3.27;56.5,4.97;59.6,5.95;62.3,6.73;64.6,7.32;65.9,7.70;68.1,8.22]; %采样值

>> interbp=0.5:1:5.5;

>> interbv=interp1(tp,bb,interbp,'spline') %用3次样条插值计算

interbv =

54.0847 4.2505

58.2153 5.5095

60.9541 6.3565

63.5682 7.0558

65.2981 7.5201

66.7269 7.9149

x1 = 1:7;

subplot(1,2,1)

y1=x1;

y1(x1<3)=3;

y1(x1>5)=5;

xq1 = 1:0.1:7; %存储插值点

p1 = interp1(x1,y1,xq1,'pchip'); %分段3次埃尔米特插值s1 = interp1(x1,y1,xq1,'spline'); %3次样条插值

plot(x1,y1,'ko',xq1,p1,'r-',xq1,s1,'b-.') subplot(1,2,2) x2 = 1:0.2:2*pi; %'ko':黑圆圈作为数据点标记

y2 = cos(5*x)./sqrt(x); xq2 = 1:0.1:2*pi;

p2 = interp1(x2,y2,xq2,'pchip');

s2 = interp1(x2,y2,xq2,'spline'); plot(x2,y2,'ko',xq2,p2,'r-',xq2,s2,'b-.')；

legend('Sample Points','pchip','spline')

6.3数据插值

6.3.1一维数据插值

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)

x、v是两个等长的已知向量，分别存储采样点和采样值。若同一个采样点有多种采样值，则v可以为矩阵，v的每一列对应一种采样值。

输入参数xq存储插值点，输出参数vq是一个列的长度与xq相同、宽度与v相同的矩阵。

选项method用于指定插值方法,可取值如下。

‘linear’(默认值)：线性插值。

‘pchip’：分段3次埃尔米特插值

‘spline’：3次样条插值

‘ nearest’：最近邻点插值

‘next’：取最后一个采样点的值作为插值点的值

'previous'：取前一个采样点的值作为插值点的值

标量：设置域外点的返回值

​

【例6.15】表6.4所示为我国0~6个月婴儿的体重、身长参考标准，用3次样条插值分别求得婴儿出生后半个月到5个半月每隔1个月的身长、体重参考值。

>> tp=0:1:6; %采样点

>> bb=[50.6,3.27;56.5,4.97;59.6,5.95;62.3,6.73;64.6,7.32;65.9,7.70;68.1,8.22]; %采样值

>> interbp=0.5:1:5.5; %8存储插入点

>> interbv=interp1(tp,bb,interbp,'spline') %用3次样条插值计算

interbv =

54.0847 4.2505

58.2153 5.5095

60.9541 6.3565

63.5682 7.0558

65.2981 7.5201

66.7269 7.9149

​

6.3.2网格数据插值

1、二维数据插值

其调用格式为

Zq=interp2(X, Y, V, Xq, Yq, method, extrapval)

X、Y分别存储采样点的平面坐标，V存储采样点采样值。

Xq、Yq存储插值点的平面坐标，Zq是根据相应的插值方法得到的插值点的值。

选项method的取值与一维插值函数相同，extrapval指定域外点的返回值。

【例6.17】表6.5所示为某企业从1968~2008年、工龄为10年、20年和30年的职工的月均工资数据。试用线性插值求出1973~1993年每隔5年、工龄为15年和25年的职工月平均工资。

>> x=1968:10:2008; %平面坐标的横坐标

>> h=[10:10:30].'; %平面坐标的纵坐标

>> W=[57,79,172,950,2496;

69,95,239,1537,3703;

87,123,328,2267,4982];

>> xi=1973:5:2003; %存储采样点采样值

>> hi=[15;25];

>> WI=interp2(x,h,W,xi,hi)

WI =

1.0e+03 *

0.0750 0.0870 0.1462 0.2055 0.7245 1.2435 2.1715

0.0935 0.1090 0.1963 0.2835 1.0928 1.9020 3.1223

​

2.多维数据插值

MATLAB提供了3维、N维插值函数interp3、interpn，用法与interp2 一致。

Vq=interp3(X, Y, Z, V, Xq, Yq, Zq, method)

Vq=interpn(X1, X2,…,Xn, V, Xq1, Xq2,…,Xqn, method)

interp3函数的输入参数X、Y、Z以及interpn函数的输入参数 X1、X2、X3、...、Xn必须是网格格式。

6.3.3散乱数据插值

vq = griddata(x,y,v,xq,yq,method)

​

vq = griddata(x,y,z,v,xq,yq,zq,method)

​

x、y、z存储采样点的坐标，v是与采样点的采样值

​

xq、yq、zq存储插值点的坐标，vq是根据相应的插值方法得到的插值结果。

​

选项method指定插值方法，可取值如下。

​

‘linear’(默认值):基于三角剖分的线性插值、

‘nearest’：基于三角剖分的最近邻点插值、

‘natural’：基于三角剖分的三次自然邻点插值、

‘cubic’：基于三角剖分的三次插值，仅支持二维插值、

'v4'：双调和样条插值，仅支持二维插值

​

【例6.18】随机生成包含100个散点的数据集，绘制散点数据图和插值得到的网格数据图，观察插值结果。

xy=rand(100,3)*10-5;

x = xy(:,1);

y = xy(:,2);

z = xy(:,3);

[xq,yq] = meshgrid(-4.9:0.08:4.9, -4.9:0.08:4.9);

zq = griddata(x,y,z,xq,yq);

mesh(xq,yq,zq)

hold on

plot3(x,y,z,'rp')

结果

6.4曲线拟合

polyfit函数的调用格式为

p = polyfit(x,y,n)

[p,S] = polyfit(x,y,n)

[p,S,mu]=polyfit(X,Y,n)

x、y是两个等长的向量，存储采样点x和采样值y

产生一个n次多项式的系数向量p及其在采样点的误差向量S。p是一个长度为n + 1的向量，p的元素为多项式p1xn+p2xn−1+...+pnx+pn+1的系数。

mu是一个二元列向量，mu(1)是mean(x)， mu(2)是std(x)。

【例6.19】某研究所为了研究氮肥的施肥量对土豆产量的影响，做了十次实验，实验数据如表6.6所示。试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系

​

data=[0,15.18;34,21.36;67,25.72;101,32.29;135,34.03; ...

202,39.45;259,43.15;336,43.46;404,40.83;471,30.75];

x=data(:,1);

y=data(:,2);

f=polyfit(x,y,2);

yi=polyval(f,x);

plot(x,y,'rp',x,yi)

​

6.5 非线性方程和非线性方程组的数值求解

6.5.1 非线性方程求解

求解一元连续函数F(x)的零点。

格式1：x=fzero(@fun,x0,options)     --->fun：函数名，x0：搜索起点。fzero只返回离x0最近的那个根。option为结构体变量。用于指定求解过程的优化参数。

格式2：[x,fval,exitflag,output]=fzero(@fun,x0,options) --->fval返回目标函数在解x处的值，exitflag：返回求解过程终止原因，output ：返回寻根过程最优化的信息。格式1为基本格式，格式2在函数寻根失败时返回寻根过程的错误和信息。

fzero的优化参数通常调用optimset函数设置，optimset函数的调用方法如下。options = optimset(优化参数1,值1, 优化参数2,值2,...)

【例6.20】求 e-2x- x=0在x0 = 0附近的根

fzero的优化参数通常调用optimset函数设置，optimset函数的调用方法如下。

options = optimset(优化参数1,值1, 优化参数2,值2,...)

(1)建立函数文件funx.m。

function fx=funx(x)

fx=exp(-2*x)-x;

(2)调用fzero函数求根。

>> z=fzero(@funx,0.0)

z =

0.4263

如果要观测函数求根过程，可先设置优化参数，然后求解，命令如下。

>> options=optimset('Display','iter');%设定显示迭代求解的中间结果

>> z=fzero(@funx,0.0,options);

【例6.21】求下列非线性方程组在(0.5，0.5)附近的数值解。

(1)建立函数文件myfun.m。

function q=myfun(p)

x1=p(1);

x2=p(2);

q(1)=x1^2+x1-x2^2-1;

q(2)=x2-sin(x1^2);

(2)在给定的初值(0.5，0.5)下，调用fsolve函数求方程的根。

x0=[0.5;0.5];

options = optimoptions('fsolve','Display','off'); %不显示中间结果

x= fsolve(@myfun,x0,options)

x =

0.7260

0.5029

​