一题三解(暴力、二分查找算法、单指针):鸡蛋掉落

涉及知识点

暴力、二分查找算法、单指针

题目

给你 k 枚相同的鸡蛋,并可以使用一栋从第 1 层到第 n 层共有 n 层楼的建筑。
已知存在楼层 f ,满足 0 <= f <= n ,任何从 高于 f 的楼层落下的鸡蛋都会碎,从 f 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次操作,你可以取一枚没有碎的鸡蛋并把它从任一楼层 x 扔下(满足 1 <= x <= n)。如果鸡蛋碎了,你就不能再次使用它。如果某枚鸡蛋扔下后没有摔碎,则可以在之后的操作中 重复使用 这枚鸡蛋。
请你计算并返回要确定 f 确切的值 的 最小操作次数 是多少?
示例 1:
输入:k = 1, n = 2
输出:2
解释:
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了,肯定能得出 f = 0 。
否则,鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了,肯定能得出 f = 1 。
如果它没碎,那么肯定能得出 f = 2 。
因此,在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 f 是多少。
示例 2:
输入:k = 2, n = 6
输出:3
示例 3:
输入:k = 3, n = 14
输出:4
提示
1 <= k <= 100
1 <= n <= 104

暴力解法

分析

f 取[0,n]共n+1可能 pre[i]表示i种可能 (j-1)个鸡蛋需要多少回合排除
dp[i]表示i种可能,j个鸡蛋 需要多少回合排除
只有一个鸡蛋,则测试最低的的楼层,如果破了,就得到答案;没破,就排除一种可能。当只一种可能时,不需要尝试,故:j为0时,dp[i]=i-1;
假设有j(j>2)个鸡蛋,假设在某层楼扔下,如果没破,有x种可能;破了,有i-x种可能。
则dp[i] = 1 + max(dp[x],pre[x-1]),x取值[1,i-1]
笨办法枚举x。

时间复杂度

时间复杂度O(knn),超时。

代码

class Solution {
public:
int superEggDrop(int k, int n) {
vector pre(n + 2);//f 取[0,n)共n+1可能 pre[i]表示i种可能 j个鸡蛋需要多少回合排除
for (int i = 0; i <= n+1; i++)
{
pre[i] = i - 1;
}
for (int j = 1; j < k; j++)
{
vector dp(n + 2,1000*100);
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n+1; i++)
{
for (int x = 1; x < i; x++)
{
dp[i] = min(dp[i], 1 + max(dp[x], pre[i - x]));
}
}
pre.swap(dp);
}
return pre.back();
}
};

二分

分析

重点考虑:max(dp[x], pre[i - x]));
情况一:dp[x] <= pre[i-x]
x1和x2是合法x,且x1 证明:因为pre和dp都是单调增加或不变 。 x1> i-x1 > i-x2 =>pre[i-x1]>=pre[i-x2]
情况二:dp[x] > pre[i-x]
同理:只需要考虑最小的x
情况一最大的x是xLeft,情况二最小的x是xRight,则xRightxLeft+1
故只需求xRight,注意:xRight可能不存在
情况二符合条件,多个符合条件返回第一个,用左开右闭空间二分。

时间复杂度

O(nklogn)。枚举鸡蛋数时间复杂度O(k),枚举可能数时间复杂度O(n),计算xRight时间复杂度O(logn)。

代码

class Solution {
public:
	int superEggDrop(int k, int n) {
		vector<int> pre(n + 2);//f 取[0,n)共n+1可能 pre[i]表示i种可能 j个鸡蛋需要多少回合排除
		for (int i = 0; i <= n + 1; i++)
		{
			pre[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 1; j < k; j++)
		{
			vector<int> dp(n + 2, 1000 * 100);
			dp[0] = dp[1] = 0;
			for (int i = 2; i <= n + 1; i++)
			{
				int left = 0, right = i ;
				while (right - left > 1)
				{
					const auto mid = left + (right - left) / 2;
					if (dp[mid] > pre[i - mid])
					{
						right = mid;
					}
					else
					{
						left = mid;
					}
				}
				if (right < i )
				{
					auto x = right;
					dp[i] = min(dp[i], 1 + max(dp[x], pre[i - x]));
				}
				if (right >= 2)
				{
					auto x = right-1;
					dp[i] = min(dp[i], 1 + max(dp[x], pre[i - x]));
				}
			}
			pre.swap(dp);
		}
		return pre.back();
	}
};

单指针

随着i的增加,xRight只会增加或变大。每个j,xRight的时间复杂度是O(n),总时间复杂度是O(kn)。

测试用例

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}

int main()
{
int res = 0;
{
res = Solution().superEggDrop(2, 6);
Assert(3, res);
}
{
res = Solution().superEggDrop(3, 14);
Assert(4, res);
}
{
res = Solution().superEggDrop(10, 100);
Assert(7, res);
}
{
res = Solution().superEggDrop(9, 89);
Assert(7, res);
}
{
res = Solution().superEggDrop(100, 10000);
Assert(14, res);
}

//CConsole::Out(res);

}

2023年1月7号版

class Solution {
public:
int superEggDrop(int k, int n) {
int iMaxStep = MaxStep(k,n);
vector preDp(iMaxStep + 1);
int iMinSetp = INT_MAX;
for (int i = 0; i <= iMaxStep; i++)
{
preDp[i] = i+1;
if (i + 1 -1 >= n)
{
iMinSetp = i;
}
}
while (–k)
{
vector dp(iMaxStep + 1);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= iMaxStep; i++)
{
const int tmp = dp[i - 1] + preDp[i - 1];
dp[i] = tmp;
if (tmp > n)
{
iMinSetp = i;
break;
}
}
preDp.swap(dp);
}
return iMinSetp;
}
int MaxStep(int k, int n)const
{
int iOpeNum = 0;
int iCan = 1;//iOpeNum回合可以判定胡楼层
for (int i = 2; i < 10000; i++)
{
for (int j = 0; j < k; j++)
{
if (iCan > n)
{
return iOpeNum;
}
iCan /= (i - 1);
iCan *= i;
iOpeNum++;
}
}
return 100;
}
};

2023年1月8号版

枚举各回合,能判断多少种可能。
class Solution{
public:
int superEggDrop(int k, int n) {
//dp[j] 表示iStep回合,j个鸡蛋能表示的可能
vector pre(k + 1,2);
pre[0] = 1;
if (2 > n)
{
return 1;
}
for (int iStep = 2; iStep < 20000; iStep++)
{
vector dp(k + 1, 1);
for (int j = 1; j <= k; j++)
{
dp[j] = pre[j] + pre[j - 1];
if (dp[j] > n)
{
return iStep;
}
}
pre.swap(dp);
}
return -1;
}

};

扩展阅读

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测试环境

操作系统:win7 开发环境: VS2019 C++17
或者 操作系统:win10 开发环境:

VS2022 C++17

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