宋浩高等数学笔记（一）函数与极限

 b站宋浩老师的高等数学网课，全套笔记已记完，不定期复习并发布更新。

章节顺序与同济大学第七版教材所一致。

目录

1.1映射与函数

1.2数列的极限

1.3函数的极限

1.4无穷小和无穷大

1.5极限运算准则

1.6极限存在准则and两个重要极限

1.7无穷小

1.8函数的连续性和间断点

1.9连续函数的运算and初等函数的连续性

1.10闭区间上连续函数的性质

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首先插播一下考研数学一对于这一章的要求：

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．

5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．

6．掌握极限的性质及四则运算法则．

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．

9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．

10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．

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作为大学数学的先导课程章节，《函数与极限》相当于是中学时期初等数学的一个进阶版：

• 首先对于映射和函数的定义，虽然中学也接触过，但高数中给出了更加严格明了的规定：函数本质上是特殊的映射——映射可以为任何事物的映射，而函数则是数集到数集的映射~
• 函数的几种特性中学有所接触，在大学中不算什么难事~
• 数列的极限可以说是应试教育中的一个新鲜术语，严格的伊普西龙-德尔塔语言中，德尔塔存在的意义是刻画数列项的充分接近（即几乎不变），而伊普西龙本质为一个无穷小的正数，意义在于数列元素值与极限值的差异几乎为0
• 函数的极限和数列的极限本质上相同，你可以理解为离散型随机变量和连续型随机变量的区别~（即有限个与无限个取值的区别）

1.1映射与函数

1.2数列的极限

1.3函数的极限

• 在无穷小这一章节中，引出无穷小的定义——各位千万不要理解错了，顾名思义，趋于零就叫无穷小；同理趋于无穷则是无穷大。需要注意的是，这里值得是函数值的变化，而并非自变量趋于的值——当x趋于0或无穷大时极限为0，都被称为无穷大~
•  在极限的运算法则中，要避免惯性思维的阴谋——所谓的极限是指无限接近但永不相等~
• 极限存在准则，即所谓的夹逼定理，和高中学的放缩法很类似
• 2个重要极限，分别是sinx/x=1和（1+1/x）^x=e

1.4无穷小和无穷大

1.5极限运算准则

1.6极限存在准则and两个重要极限

1.7无穷小

• 有关无穷小的量级问题，我们规定趋于零速度快的函数被称为高阶无穷小~
• 所谓连续，即当x值的变化量趋于0时y值的变化量也趋于0。连续的3个条件是，x处有极限、x处有定义，且极限值与函数值相同，我们称函数在这一点上连续~
• 零点存在定理是指，在闭区间上连续的函数，且端点处函数值之积小于零，则该区间上一定有一点使得f（x）=0
• 介值定理是指，在闭区间上至少有一点处的函数值，位于端点函数值中间

1.8函数的连续性和间断点

1.9连续函数的运算and初等函数的连续性

1.10闭区间上连续函数的性质