第四章 随机变量的数字特征

说明：为了复习概率论，该文章是学习课程 《概率论与数理统计》教学视频全集（宋浩）而记录的笔记，笔记来源于本人，笔记包含的MATLAB代码来源于本人。若有侵权，请联系本人删除。笔记难免可能出现错误或笔误，若读者发现笔记有错误，欢迎在评论里批评指正。参考书籍： 《概率论与数理统计》_同济第五版_韩明、 《概率论与数理统计教程》_第三版 (茆诗松) 。

一、数学期望

1.1 平均数、加权平均数、离散型与连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望

例2的代码：

% 例2
clc;
clear ;
close all;
% 1.参数、概率密度函数
lambda = 1/10;%指数分布的参数
syms x;
% 定义指数分布的概率密度函数
fun = piecewise( x<0, 0, x>=0, lambda*exp(-lambda*x));
% 2.求解对应的概率
xmin1 = -inf;
xmax1 = 1;
Q1 =int(fun, x, xmin1, xmax1); % 进行积分
fprintf('P{ X=<1 }的结果为：'); %输出结果
disp(double(Q1));
xmin2 = 1;
xmax2 = 2;
Q2 =int(fun, x, xmin2, xmax2); % 进行积分
fprintf('P{ 1); %输出结果
disp(double(Q2));
xmin3 = 2;
xmax3 = 3;
Q3 =int(fun, x, xmin3, xmax3); % 进行积分
fprintf('P{ 2<3<=X }的结果为：'); %输出结果
disp(double(Q3));
xmin4 = 3;
xmax4 = inf;
Q4 =int(fun, x, xmin4, xmax4); % 进行积分
fprintf('P{ 3); %输出结果
disp(double(Q4));
% 3.求平均一台家电的收益
money_one_home_appliances_made = Q1*1500+Q2*2000+Q3*2500+Q4*3000;
fprintf('平均一台家电的收益为：%f（元）\n',double(money_one_home_appliances_made)); %输出结果

第3页 二维离散型随机变量求期望的例题的代码：

%            第3页 二维离散型随机变量求期望的例题
clc;
clear ;
close all;
%1. 参数
X = [1 2];
Y = [0 1 2];
P = [0.1 0.1 0.2;0.2 0.2 0.2];
%2. 求期望
E_Z = 0;
for i = 1:2
    for j = 1:3
        E_Z = E_Z + (X(i)^2-Y(j))*P(i,j);
    end
end
fprintf('Z的期望为：E[Z]='); %输出结果
disp(double(E_Z));

1.2 数学期望的性质

1.3 条件期望

二、方差

2.1 方差的定义与计算公式

2.2 方差的性质、随机变量的标准化随机变量

三、常见离散型分布的期望与方差（0-1分布、二项分布、几何分布、泊松分布、超几何分布）

四、常见离散型分布的期望与方差

4.1 均匀分布、指数分布、正态分布的期望与方差

4.2 常见分布的均值和方差表

五、协方差、相关系数与矩函数

5.1 协方差（定义、计算与性质）

5.2 相关系数（定义、含义、定理、不相关与独立之间的关系）

5.3 矩函数（分类、原点矩、中心矩、混合矩、混合中心矩、协方差矩阵）

注：其实，为了便于计算随机变量的数字特征，还引入了特征函数，感兴趣的可以去学一学。