acwing算法基础之搜索与图论--匈牙利算法求二分图的最大匹配数

1 基础知识

二分图中的最大匹配数：从二分图中选择一些边（这些边连接集合A和集合B，集合A中结点数目为n1，集合B中结点数目为n2），设为集合S，其中任意两条边不共用一个结点。求集合S的最大元素数目，即二分图中的最大匹配数。

匈牙利算法的关键步骤：

1. 初始化匹配数组match[1~n2] = 0。其中match[b] = a，表示集合B中的结点b匹配了集合A中的结点a。
2. 遍历集合A中的每一个结点a：初始化状态数组st[1~n2] = false，其中st[b] = false表示集合B中的结点b没有被访问。然后，find(x)，如果它返回true，那么答案加1。

bool find(int a) {//a为集合A中的结点
	for (auto b : g[x]) {
		if (!st[b]) {//如果结点b没有被访问
			st[b] = true;
			if (match[b] == 0 || find(match[b])) { //如果结点b没有被匹配，或者结点b匹配了的结点可以找到新的
				match[b] = a;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

3. 最终返回答案，即为该二分图的最大匹配数。

2 模板

int n1, n2;     // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N];       // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N];     // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过

bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{
    memset(st, false, sizeof st);
    if (find(i)) res ++ ;
}

3 工程化

题目1：求二分图的最大匹配。

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510;
int n1, n2, m;
vector<vector<int>> g(N);
int match[N];
bool st[N];

bool find(int a) {
    for (auto b : g[a]) {
        if (!st[b]) {
            st[b] = true;
            if (match[b] == 0 || find(match[b])) {
                match[b] = a;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    cin >> n1 >> n2 >> m;
    int a, b;
    while (m--) {
        cin >> a >> b;
        g[a].emplace_back(b);
    }
    
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; ++i) {
        memset(st, 0, sizeof st);
        if (find(i)) res++;
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}